4.1角平分线的性质与判定第一章三角形的证明北师大版八年级数学下册

学习目标1.要求大家掌握角平分线的性质定理和逆定理，会用这两个定理解决一些简单问题.2.理解角平分线的性质定理和逆定理的证明.3.进一步发展大家的推理证明意识和能力.

情境导入1.什么叫角平分线？如果一条射线把一个角分成两个相等的角，那么这条射线叫角的平分线.2.还记得角平分线上的点有什么性质吗?你是怎样得到的?角平分线上的点到角两边的距离相等.

探索交流角平分线的性质1—角平分线上的点到角两边的距离相等。已知：如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D、E．

求证：PD=PE．CB1A2PDEO

探索交流证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴∠PDO=∠PEO=90°.∵∠1=∠2，OP=OP，∴△PDO≌△PEO（AAS）.∴PD=PE（全等三角形的对应边相等）.CB1A2PDEO

探索交流1.定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．2.书写格式：如图，∵OP平分∠AOB，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E,∴PD＝PE.3定理应用所具备的条件：(1)角的平分线；(2)点在该平分线上；(3)垂直距离.

例题解析例题欣赏?例1.如图，AM是∠BAC的平分线，点P在AM上，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别是D、E，PD=4cm，则PE=____cm.BACPMDE4

探索交流议一议你能写出这个定理的逆命题吗？它是真命题吗？角的平分线上的点到角的两边的距离相等.如果有一个点到角两边的距离相等，那么这个点必在这个角的平分线上．简写这个命题是假命题．角平分线是角内部的一条射线，而角的外部也存在到角两边距离相等的点．到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上

探索交流已知：如图，点P为是∠AOB内一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D、E，且PD=PE.求证：点P在∠AOB的平分线上.∴OP平分∠AOB.∵PD=PE，OP=OP，证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，∴∠ODP=∠OEP=90°.∴Rt△DOP≌Rt△EOP(HL).∴∠1=∠2(全等三角形的对应角相等).BADOPEC12

探索交流定理在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上.书写格式：如图，∵PD⊥OA，PE⊥OB，PD＝PE,∴点P在∠AOB的平分线上(或∠AOC＝∠BOC)

例题解析例题欣赏?例3.如图，在△ABC中，∠BAC=60°，点D在BC上，AD=10，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，且DE=DF，求DE的长.ABCDEF

解：∵DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，且DE=DF，∴AD平分∠BAC(在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上).又∵∠BAC=60°，∴∠BAD=30°.在Rt△ADE中，∠AED=90°，AD=10，ABCDEF∴DE=AD=×10=5(在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半).例题解析

探索交流图形已知条件结论PCPCOP平分∠AOBPD⊥OA于DPE⊥OB于EPD=PEOP平分∠AOBPD=PEPD⊥OA于DPE⊥OB于E角的平分线的判定角的平分线的性质

练习巩固1.如图，OP是∠AOB的平分线，点C，D分别在角的两边OA，OB上，添加下列条件，不能判定△POC≌△POD的选项是()A．PC⊥OA，PD⊥OBB．OC＝ODC．∠OPC＝∠OPDD．PC＝PDD

练习巩固2.如图，若∠ABC的平分线与△ABC的外角∠ACD的平分线相交于点P，若∠BAC=62°，∠PAC等于____°.59BACDP

练习巩固3.如图，△ABC中，AD是∠BAC的平分线，BD=CD，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F.求证：EB=FC.证明：∵AD是角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF.又∵BD=CD，∴Rt△DEB≌Rt△DFC（HL）.∴EB=FC.

小结反思1.角平分线的性质定理：角平分线上的点到这个角的两边距离相等.2.角平分线的判定定理：在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上.