3.2线段的垂直平分线
第一章三角形的证明
北师大版八年级数学下册
学习目标
1.掌握和证明三角形的三条边的垂直平分线的性质定理.
2.已知底边和底边上的高，能用尺规作等腰三角形.
情境导入
作三角形三条边的垂直平分线，你发现了什么？
P
三条边的垂直平分线交于一点P
探索交流
1—
求证：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等.
已知：如图,在△ABC中，边AB的垂直平分线与边BC的垂直平分线与边BC相交于点P.
求证：边AC的垂直平分线经过点P，且PA＝PB＝PC.
探索交流
证明：∵点P在线段AB的垂直平分线上，
∴PA=PB(线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等)．
同理PB=PC．∴PA=PC．
∴P点在AC的垂直平分线上(到线段两个端点距离相等的点.在这条线段的垂直平分线上)．
∴AB、BC、AC的垂直平分线相交于点P．
探索交流
应用格式：
∵点P为△ABC三边垂直平分线的交点，
∴PA=PB=PC．
定理：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等.
①锐角三角形三边的垂直平分线交于三角形内部
探索交流
③钝角三角形三边的垂直平分线交于三角形外部
②直角三角形三边的垂直平分线交于三角形斜边中点处
例题解析
?
例1.如图，在△ABC中，∠BAC＝52°，O为AB，AC的垂直平分线的交点，连接OB，OC，那么∠OCB＝______．
38°
探索交流
(1)已知三角形的一条边及这条边上的高，你能画出满足条件的三角形吗？如果能，能画出几个？所画出的三角形都全等吗？
可以画出无数个三角形
探索交流
（2）已知等腰三角形的底边，你能用尺规作出等腰三角形吗？如果能，能画出几个？所画出的三角形都全等吗？
可以画出无数个三角形
探索交流
（3）已知等腰三角形的底边及底边上的高，你能用尺规作出等腰三角形吗？能作几个？
这样的等腰三角形只有两个，并且它们是全等的，分别位于已知底边的两侧．
所以满足这一条件的三角形是唯一确定的.
你能尝试着用尺规作出这个三角形吗?
探索交流
用尺规作已知线段的垂直平分线的方法：
已知：线段AB(如图)．
求作：线段AB的垂直平分线．
作法：①分别以点A和点B为圆心，以大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点C和点D.
②作直线CD，直线CD就是线段AB的垂直平分线(如图)．
探索交流
线段垂直平分线的性质定理的逆定理：
应用格式：
∵PA=PB，
∴点P在AB的垂直平分线上．
到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.
例题解析
?
试一试
例2.已知一个等腰三角形的底边及底边上的高，求作这个等腰三角形.
已知：如图，线段a，h.
求作：△ABC，使AB=AC，且BC=a，高AD=h.
例题解析
作法:
（1）作线段BC=a(如图)
（2）作线段BC的垂直平分线m，交BC于点D
（3）在m上作线段DA，使DA=h
（4）连接AB,AC△ABC为所求的等腰三角形
h
B
C
A
D
m
如果点P是直线l外一点，那么怎样用尺规作l的垂线，使它经过点P呢？说说你的作法，并与同伴交流.
A
B
m
P
l
(1)先以P为圆心，大于点P到直线l的垂直距离R为半径作圆，交直线l于A，B.
(3)过两交点作直线l，此直线为l过P的垂线.
(2)分别以A、B为圆心，大于R的长
为半径作圆，相交于C、D两点.
探索交流
练习巩固
1三角形三边的垂直平分线的交点()
A．到三角形三边的距离相等
B．到三角形三个顶点的距离相等
C．到三角形三个顶点与三条边的距离相等
D．不能确定
B
练习巩固
2.如图，等腰△ABC中，AB=AC，∠A=20°．线段AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E，连接BE，则∠CBE等于()
A．80°B．70°
C．60°D．50°
C
练习巩固
3.如图，在△ABC中，BC=2，∠BAC＞90°，AB的垂直平分线交BC于点E，AC的垂直平分线交BC于点F，请找出图中相等的线段，并求出△AEF的周长.
∴AE+EF+AF
=BE+EF+CF
=BC
=2
解：AE=BE，AF=CF.（线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等）
小结反思
1.三角形三条边的垂直平分线交于同一点，这一点叫做三角形的外心．
2.几种三角形三条边的垂直平分线交点的位置情况：
(1)锐角三角形三边垂直平分线交于三角形内部；
(2)直角