3.1线段的垂直平分线第一章三角形的证明北师大版八年级数学下册

学习目标1.能够证明线段的垂直平分线的性质定理和判定定理，并利用定理解决几何问题.

2.用尺规作线段的垂直平分线.

情境导入1.线段是轴对称图形吗？它的对称轴是什么？AB2.什么叫线段的垂直平分线？3.线段的垂直平分线有什么性质？经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，这条线段的垂直平分线(中垂线).垂直平分线性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等．

情境导入如图，A、B表示两个仓库，要在A、B一侧的河岸边建造一个码头，使它到两个仓库的距离相等，码头应建在什么位置?ABC

探索交流线段的垂直平分线的性质1—定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点距离相等.已知：如图,直线MN⊥AB垂足为C，且AC＝BC，P是MN上的任意一点.求证：PA＝PBPABMCN证明：∵MN⊥AB，∴∠PCA＝∠PCB＝90°.∵AC＝BC，PC＝PC,∴△PCA≌△PCB(SAS).∴PA＝PB(全等三角形的对应边相等）

探索交流条件：点在线段的垂直平分线上；结论：这个点到线段两端点的距离相等．表达方式：如图，l⊥AB，AO＝BO，点P在l上，则AP＝BP.定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；

例题解析例题欣赏?例1.如图，在△ABC中，AB＝AC＝20cm，DE垂直平分AB，垂足为E，交AC于D，若△DBC的周长为35cm，则BC的长为()A．5cmB．10cmC．15cmD．17.5cmC

探索交流想一想你能写出上面这个定理的逆命题吗？它是真命题吗？你能写出上面这个定理的逆命题吗?它是真命题吗?定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等条件结论性质定理逆命题一个点在线段的垂直平分线上这个点到线段两端的距离相等一个点到线段两端的距离相等这个点在线段的垂直平分线上它是真命题吗？你能证明吗？

探索交流如果PA=PB，那么点P是否在线段AB的垂直平分线上呢？记得要分点P在线段AB上及线段AB外两种情况来讨论ABCP

探索交流①当点P在线段AB上时，∵PA=PB，∴点P为线段AB的中点，显然此时点P在线段AB的垂直平分线上；②当点P在线段AB外时，如右图所示.∵PA=PB，∴△PAB是等腰三角形.过顶点P作PC⊥AB，垂足为点C.∴底边AB上的高PC也是底边AB上的中线.即PC⊥AB，且AC=BC.∴直线PC是线段AB的垂直平分线，此时点P也在线段AB的垂直平分线上.ABCP

探索交流线段垂直平分线的性质定理的逆定理：应用格式：∵PA=PB，∴点P在AB的垂直平分线上．到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.

例题解析例题欣赏?例2.已知：如图，在△ABC中，AB=AC，O是△ABC内一点，且OB=OC.求证：直线AO垂直平分线段BC.ABCO

例题解析ABCO证明一：∵AB=AC，∴点A在线段BC的垂直平分线上（到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）.∴直线AO是线段BC的垂直平分线（两点确定一条直线）.同理，点O在线段BC的垂直平分线上.

例题解析证明二：延长AO交BC于点D.∵AB＝AC，AO＝AO，OB＝OC，∴△ABO≌△ACO（SSS）.∴∠BAO=∠CAO.∵AB=AC，∴AD⊥BC，BD＝CD.∴直线AD，即AO垂直平分线段BC.D

练习巩固1.到三角形三个顶点的距离相等的点是（）A.三条角平分线的交点B.三边垂直平分线的交点C.三边高线的交点D.没有这样的点B

练习巩固2.如图，△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AC于E，连接BE，AB+BC=16cm，则△BCE的周长是cm.ABCDE16

练习巩固3.如图，AD⊥BC，BD=DC，点C在AE的垂直平分线上，AB，AC，CE的长度有什么关系？AB+BD与DE有什么关系？ABCDE解：∵AD⊥BC，BD=DC，∴AD是BC的垂直平分线，∴AB=AC.∴AB=AC=CE.∵AB=CE，BD=DC，∴AB+BD=CD+CE.即AB+BD=DE.∵点C在AE的垂直平分线上