备战中考数学专题16二次函数的应用【知识点及十大题型】
【题型1方案选择问题】
【题型2拱桥问题】
【题型3隧道问题】
【题型4喷泉问题】
【题型5球类飞行轨迹问题】
【题型6空中跳跃轨迹问题】
【题型7最大利润问题】
【题型8图形动问题】
【题型9图形面积问题】
【题型10现实生活问题】
【知识点二次函数的应用】
在研究有关函数的实际问题时，要遵循一审.二设.三列.四解的方法：
第1步：审题。认真读题，分析题中各个量之间的关系；
第2步：设自变间的关系设满量。根据各个量之足题意的自变量；
第3步：列函数。根据各个量之间的关系列出函数；
第4步：求解。求出满足题意的数值。
【题型1方案选择问题】
【例1】(2023-山东潍坊?统考二模)2023年国际风筝会期间，某经销商准备采购一批风筝，已知用20000
元采购A型风筝的只数是用8000元采购B型风筝的只数的2倍，一只A型风筝的进价比一只B型风筝的进
价多20元.
(1)求一只A,B型风筝的进价分别为多少元？
(2)经市场调查发现:A型风筝售价的一半与A型风筝销量的和总是等于130,5型风筝的售价为120元/只.该
经销商计划购进A,B型风筝共300只，其中A型风筝m(50m150)H,若两种风筝能全部售出，求销
售这批风筝的最大利润，并写出此时的采购方案.
【答案】(1)一只A型风筝的进价为100元，一只B型风筝的进价为80元；
(2)当购进50只A型风筝，80只8型风筝时，销售这批风筝的利润最大，最大利润为13000元.
【分析】(1)设一只A型风筝的进价为x元，一只8型风筝的进价为Q+20)元，根据“用20000元采购A
型风筝的只数是用8000元采购8型风筝的只数的2倍”列分式方程，解之即可求解；
(2)设销售这批风筝的利润为w元，根据题意得w=-2(m-30)2+13800,利用二次函数的性质即可求解.
【详解】（1）解：设一只A型风筝的进价为尤元，一只8型风筝的进价为（x+20）元,
rprr.|（日石4曰200008000仁
根据题息得布=丁乂2,
解得x=80,
经检验，%=80是所列方程的解，且符合题意,
Ax+20=80+20=100,
答：一只A型风筝的进价为100元，一只B型风筝的进价为80元；
（2）解：设销售这批风筝的利润为w元，
根据题意得：w=[2（130-m）-100]m+（120-80）（300一m）=-2m2+120m+12000,
整理得w=-2（m-30）2+13800,
V-20,50m150
..?当m=50时，w取得最大值，最大值为13000,此时130m=13050=80,
答：当购进50只A型风筝，80只8型风筝时，销售这批风筝的利润最大，最大利润为13000元.
【点睛】本题考查了分式方程的应用、二次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分
式方程；（2）利用二次函数的性质求出最大利润.
【变式1-1】（2023-河北邯郸?校考三模）九年级某班计划在劳动实践基地内种植蔬菜，班长买回来8米长的
围栏，准备围成一边靠墙（墙足够长）的菜园，为了让菜园面积尽可能大，同学们提出了围成矩形、等腰
直角三角形（底边靠墙）、半圆形这三种方案，如图所示，最佳方案是（）
方案1方案3
A.方案1B.方案2C.方案3D.面积都一样
【答案】C
【分析】根据二次函数的性质，分别计算出三个方案的菜园面积进行比较即可.
【详解】解：方案1：^AD=x米，则4B=（82x）米，
D
AB
方案1
则菜园面积=%(8-2%)=-2x2+8/=-2(%-2)2+8,
当x=2时，此时菜园最大面积为8平方米；
方案2：如图，AB=AC=4,
..?菜园面积为8平方米;
方案3：半圆的半径为兰米，
71
???此时菜园最大面积==—(平方米)
271
?.?兰＞8,
71
?.?方案3的菜园面积最大，
.??在三种方