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2025年九年级数学中考三轮冲刺训练
矩形与折叠问题专题练
1．如图，在矩形中，点E为边上一点，将沿翻折到，点B恰好落在边上的点F处．延长交于点G，连接．求证：四边形BCFG为菱形；
2．综合与实践课上，同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．
(1)如图（1），将矩形纸片沿过点A的直线折叠，使点B落在边上的点处，折痕为，则四边形的形状为．
(2)如图（2），矩形纸片的边长，用图（1）中的方法折叠纸片，折痕为，接着沿过点D的直线折叠纸片，使点C落在上的点处，折痕为．则，．
(3)如图（3），矩形纸片的长为，宽为，用图（1）的方法折叠纸片，折痕为，在线段上取一点F（不与点C，E重合），沿折叠，点C的对应点为，??延长交直线于点G．
①判断与的数量关系，并证明；
②当射线经过的直角边的中点时，请直接写出的长．
3．【知识技能】如图1，在矩形中，将沿对角线翻折，点落在点处，交于点．求证：；
【数学思考】如图2，正方形中，点，分别为边，上的动点，将正方形沿折叠，使点落在处，点落在点处，交于点，若点恰好在边上，求证：；
【拓展探究】如图3，在中，，，，将沿边翻折，点落在点处，求点到的距离．
4．数学兴趣小组的同学们以“图形的折叠”为主题开展探究活动．
【操作推断】
(1)如图①，点P是正方形纸片的边的中点，沿折叠，使点A落在点M处，延长交于点F，连接，则；
【迁移探究】
(2)如图②，延长交于点E，连接．
①；
②小明用大小不同的正方形纸片重复几次以上操作，总发现．请判断该发现是否正确？并说明理由；
【拓展应用】
(3)将边长为2的两个相同正方形拼成矩形，如图③，点P是上一动点，沿折叠，使点A落在点M处，射线交射线于点F．当时，直接写的长．
5．人教版数学八年级下册教材的数学活动折纸，引起许多同学的兴趣．我们可以通过折纸开展数学探究，探索数学的奥秘．
(1)如图1，对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平；以为折痕再一次折叠纸片，使点A落在折痕上的点N处，把纸片展平；连接．观察图1中和，猜想这三个角的关系，并说明理由；
(2)如图2，M为矩形纸片的边上的一点，连结，在上取一点P，折叠纸片，使B，P重合，展平纸片，得到折痕；折叠纸片，使点B、P分别落在上，展平纸片得到折痕l，折痕l与交于点O，点B、P的对应点分别为G、N，连接．证明：；
(3)如图3，矩形纸片中，，点P是边上的动点，现将纸片折叠，使点A与点P重合，折痕与矩形边的交点分别为E，F，要使折痕始终与边有交点，直接写出的取值范围．
6．综合与实践
(1)【操作发现】如图1，诸葛小组将正方形纸片沿过点的直线折叠，使点落在正方形内部的点处，折痕为，再将纸片沿过点的直线折叠，使与重合，折痕为，请写出图中的一个角；
(2)【拓展探究】如图2，孔明小组继续将正方形纸片沿继续折叠，点的对应点恰好落在折痕上的点处，连接交于点．
①________度；
②若，求线段的长；
(3)【迁移应用】如图3，在矩形中，点，分别在边，上，将矩形沿，折叠，点落在点处，点落在点处，点，，恰好在同一直线上，若点为的三等分点，，，请直接写出线段的长．
7．折纸是数学课中常见的操作活动，同学们可由此进行观察、猜想和证明．如图1，在矩形纸片中，点在边上，沿折叠矩形，点落在点处，连接交于点．
(1)小明发现，在图1中如果延长交边于点，如图2，则有，请说明理由；
(2)若矩形是一张纸，且点是边的中点，如图2所示进行折叠与连线，求的值；
(3)在矩形纸片中，点、分别在边和上，连接、、，且平分，，，求的值．
8．如图，在矩形中，，，点E为边上一定点，且，点F、P分别是、边上的一点，且，将沿直线翻折得到，点E的对应点为，线段与相交于点Q，设，．
(1)当点与点A重合时，求的长；
(2)求的值；
(3)求y与x的函数关系式．
9．综合与实践
折纸是一项有趣的活动，在折纸过程中，我们通过研究图形的性质可以发展空间观念，在思考问题的过程中建立几何直观．在一次综合实践课上，小丽尝试将手中的矩形纸片进行折叠．如图（1），在矩形纸片中，，，折叠纸片使点落在点处，并使折痕经过点，得到折痕，把纸片展开，连接，．
【问题解决】
（1）如图（2），连接，在折叠过程中，当点恰好落在线段上时，求线段的长．
（2）如图（3），连接，将矩形纸片折叠，使得点的对应点落在对角线上，并使折痕经过点，得到折痕，当点也落在对角线上时：
试判断四边形的形状，并说明理由；
求线段的长．
【拓展延伸】
（3）如图（4），当点为线段的中点时，延长交于点，连接，请直接写出与的数量关系和线段的长．（温馨提示：）
10．如图，若点O是矩形对角线的中点，按如图所示