2.2基本不等式（精讲）
一.重要不等式
对于任意实数a，b，有a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立.
二．基本不等式
1.定义：如果a0，b0，则eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)，当且仅当a＝b时，等号成立，其中eq\f(a＋b,2)叫做正数a，b的算术平均数，eq\r(ab)叫做正数a，b的几何平均数．
2．常用变形
(1)ab≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2，a，b∈R，当且仅当a＝b时，等号成立．
(2)a＋b≥2eq\r(ab)，a，b都是正数，当且仅当a＝b时，等号成立．
3.利用基本不等式求最值必须满足三个条件才可以进行，即“一正、二定、三相等”.
①一正：各项必须为正.
②二定：各项之和或各项之积为定值.
③三相等：必须验证取等号时条件是否具备.
三.利用基本不等式求最值
(1)已知x，y都是正数，如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2eq\r(P).
(2)已知x，y都是正数，如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值eq\f(1,4)S2.
利用基本不等式求条件最值的常用方法
1.配凑法求最值：主要是配凑成“和为常数”或“积为常数”的形式.
2.常数代换法：主要解决形如“已知x＋y＝t(t为常数)，求eq\f(a,x)＋eq\f(b,y)的最值”的问题，先将eq\f(a,x)＋eq\f(b,y)转化为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,x)＋\f(b,y)))·eq\f(x＋y,t)，再用基本不等式求最值.
3.当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”的形式，最后利用基本不等式求最值.
4.构建目标式的不等式求最值，在既含有和式又含有积式的等式中，对和式或积式利用基本不等式，构造目标式的不等式求解.
二．利用基本不等式比较实数大小
(1)利用基本不等式比较大小，常常要注意观察其形式(和与积).
(2)利用基本不等式时，一定要注意条件是否满足a0，b0.
三．利用基本不等式解决实际问题的步骤
1.先理解题意，设变量.设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数.
2.建立相应的函数关系式.把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题.
3.在定义域内，求出函数的最大值或最小值.
4.正确写出答案.
四．利用基本不等式证明不等式
1.无附加条件的不等式的证明，其解题思路是：观察要证不等式的结构特征，若不能直接使用基本不等式，则要结合左、右两边的结构特征，进行拆项、变形、配凑(加减项或乘除某个实系数)等，使之满足使用基本不等式的条件．
2.有附加条件的不等式的证明，其解题思路是：观察已知条件与要证不等式之间的关系，条件的巧妙代换是一种较为重要的变形．另外，解题过程中要时刻注意等号能否取到．
考点一直接型
【例11】（2023春·陕西榆林）已知，则的最大值为（????）
A． B． C．1 D．2
【例12】（2023·陕西）已知，则当取最大值时，的值为（????）
A． B． C． D．
【一隅三反】
1．（2023春·湖南邵阳）已知，，则的最大值为（????）
A．6 B．9 C．12 D．36
2．（2023·高一课时练习）已知，那么c的最大值为（????）
A．1 B． C． D．
3．（2023福建省）已知，则的最小值为（????）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．（2023安徽）已知，则的最大值为（????）
A． B． C． D．
考点二替换型
【例21】（2023·江西景德镇）已知x，，x＋2y＝1，则的最小值（????）
A．8 B．9 C．10 D．11
【例22】（2023春·浙江温州）已知正数a，b满足，则最小值为（????）
A．25 B． C．26 D．19
【例23】（2023·浙江）已知正实数满足，则的最小值为（????）
A． B． C． D．
【例24】（2023春·河南周口·高一校联考期末）已知，，，则的最小值为（????）
A．8 B．16 C．24 D．32
【一隅三反】
1．（2023西藏）已知，，，则的最小值是（????）
A． B．4 C． D．5
2．（2023春·福建福州）若正数满足，则的最小值为（????）
A． B． C．2 D．
3．（2023春·江苏南京）已知非负数满足，则的最小值是___________.
4．（2023·重庆）已知正数，满足，则的最小值为__________.
考点三配凑型
【例31】（2023·广西）函数的最大值为________.
【例32】（2022·江苏·高一专题练习）当时，函数的最小值为（???