集合运算时要根据代表元素注意区分集合的形式
【过关练】—函数的定义域；—函数的值域；—函数图象上的点集.
已知集合、元素间的关系求参数时，注意验证集合元素的互异性
【过关练】（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）已知集合，，若，则（???）
A．0 B． C．1 D．0或1
【答案】C
【分析】根据集合的包含关系，分类讨论，即可求解a的值．
【详解】因为集合，，，
所以，所以或，
若，则，此时，满足题意；
若，则，此时集合不满足集合元素的互异性，舍去．
综上，．
故选：C．
3.条件为，在讨论的时候不要遗忘了的情况
【过关练】（2025高三下·全国·专题练习）已知全集，集合，，若，则实数的取值范围是．
【答案】
【分析】分集合B是空集和非空集合两种情况，再利用集合之间的包含关系分别求解即可.
【详解】①当时，则，即，因为集合，
，则或，
又，则或，解得或，又，所以；
②当时，则，即，此时，符合题意．
综上所述，实数的取值范围为或．
故答案为：
4.已知集合中有n个元素，如何确定子集、真子集的个数？（子集2n,真子集2n-1个）
【过关练】（2025·河北秦皇岛·一模）已知集合，集合，若集合满足?，则这样的集合共有个.
【答案】7
【分析】结合子集和真子集的概念求解即可.
【详解】由?，则集合中一定有元素，
且至少含有其中一个元素，
则这样的集合共有个.
故答案为：7.
5.如何判断充分必要条件？定义法、集合法、图示法.
【过关练】（2025·广西桂林·一模）“，使”的一个充分不必要条件是（????）
A． B．
C． D．或
【答案】C
【分析】分、、三种情况讨论，分别确定不等式有解，即可求出参数的取值范围，再根据集合的包含关系判断即可.
【详解】当时，有解；
当时，二次函数开口向上，所以有解；
当时，有解，则，解得；
综上可得；
因为真包含于，
所以“，使”的一个充分不必要条件是.
故选：C.
6.会写全称命题、特称命题的否定吗？转换量词否定结论
【过关练】（2025·陕西咸阳·二模）已知命题：，，则为（???）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】D
【分析】由全称命题的否定：将任意改存在并否定结论，即可写出原命题的否定.
【详解】：，.
故选：D
7.利用基本不等式求最值的三个条件是什么？一正二定三相等
【过关练】（2025高三·云南·模拟）下列结论正确的是（???）
A．任意，则 B．若，则
C．若，则 D．若，，，则
【答案】BD
【分析】举例即可判断A；根据不等式的性质即可判断B；根据基本不等式即可判断CD.
【详解】对于A，当时，为负数，故A错误；
对于B，若，则，所以，故B正确；
对于C，若，则，
当且仅当，即时取等号，
又因为，所以故C错误；
对于D，若，，，
则，，当且仅当时等号成立，故D正确.
故选：BD.
8.利用基本不等式求最值的常见模型有哪些？
(1)模型一：，当且仅当时等号成立；
(2)模型二：，当且仅当时等号成
立；
(3)模型三：，当且仅当时等号成立；
(4)模型四：，当且仅当时
等号成立.
（5）模型五：“已知x+y=t(t为常数),求的最值”的问题，先将转化为，再用基本不等式求最值.
【过关练】（2025·天津红桥·一模）已知，则的最小值为（????）
A． B． C．4 D．2
【答案】D
【分析】利用基本不等式即得.
【详解】因为，
所以，
当且仅当，且，即时，取等号，
所以的最小值为2.
故选：D.
判断函数是否相同的三要素是什么？定义域、对应法则、值域
函数的定义域一定要写成集合或区间形式还知道吗？如何求复合函数的定义域？
【过关练】（24-25高三上·四川南充·开学考试）已知函数的定义域为，则的定义域为（????）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由题意求出的定义域，结合函数列出相应不等式组，即可求得答案.
【详解】由题意可知函数的定义域为，即，
故，则的定义域为，
则对于，需满足，
即的定义域为，
故选：C
一定要在函数的定义域内求单调区间，多个单调区间不能用连接还记得吗？
【过关练】（2025高三·广东·模拟）函数的单调增区间为（????）
A． B． C．和 D．
【答案】C
【分析】由可得且，然后求出的减区间即可.
【详解】由可得且，
因为开口向下，其对称轴为，
所以的减区间为和
所以的单调增区间为和
故选：C
关于单调性的常用结论还知道吗？
（1）?x1，x2∈I且x1≠x2，有eq\f(f?x1?－f?x2?,x1－x2)0(0)或(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]0(0)?f(x)在区间I上单调递增(减)．
（2）在公共定义域内，增函数＋增函数＝增函数，减函数＋减函数＝减函数．
（3）函数y＝f(x)(f(x