§10.5离散型随机变量及其分布列、数字特征
课标要求1.理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念.2.理解并会求离散型随机变量的数字特征．
知识梳理
1．离散型随机变量
在随机试验中，我们确定了一个对应关系，使得样本空间的每一个样本点都用一个确定的_________表示．在这个对应关系下，_________随着试验结果的变化而变化．像这种取值随着试验结果的变化而变化的量称为_________变量，随机变量常用字母X，Y，ξ，η等表示．取值能够一一列举出来的随机变量称为离散型随机变量．
2．离散型随机变量的分布列
若离散型随机变量X的取值为x1，x2，…，xn，…，随机变量X取xi的概率为_______________，记作P(X＝xi)＝pi(i＝1,2，…，n，…)．①
①式也可以列成表，如表：
xi
x1
x2
…
xn
…
P(X＝xi)
p1
p2
…
pn
…
表或①式称为离散型随机变量X的分布列，简称为X的分布列．
3．离散型随机变量分布列的性质
(1)pi___0(i＝1,2，…，n，…)；
(2)p1＋p2＋…＋pn＋…＝______.
4．离散型随机变量的均值与方差
一般地，若离散型随机变量X的分布列为
X
x1
x2
…
xi
…
xn
P
p1
p2
…
pi
…
pn
(1)均值
则称EX＝____________________________________为随机变量X的均值或数学期望(简称期望)．它反映了离散型随机变量X取值的_______________．
(2)方差
称DX＝E(X－EX)2＝__________________为随机变量X的方差，其算术平方根eq\r(DX)为随机变量X的_________，记作σX，它们都反映了随机变量的取值偏离于均值的平均程度．
5．均值与方差的性质
(1)E(aX＋b)＝_________.
(2)D(aX＋b)＝_________(a，b为常数)．
常用结论
1．Ek＝k，Dk＝0，其中k为常数．
2．E(X1＋X2)＝EX1＋EX2.
3．DX＝EX2－(EX)2.
4．若X1，X2相互独立，则E(X1X2)＝EX1·EX2.
自主诊断
1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”)
(1)在离散型随机变量的分布列中，随机变量取各个值的概率之和可以小于1.()
(2)离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的．()
(3)随机试验的结果与随机变量是对应关系，即每一个试验结果都有唯一的随机变量的值与之对应．()
(4)方差或标准差越小，则随机变量的偏离程度越小．()
2．已知随机变量X的分布列为
X
－1
0
1
P
eq\f(1,2)
eq\f(1,3)
eq\f(1,6)
设Y＝2X＋3，则EY的值为()
A.eq\f(7,3)B．4C．－1D．1
3．(2023·辽阳模拟)已知随机变量X满足P(X＝1)＝P(X＝2)＝0.4，P(X＝4)＝0.2，则EX＝________，DX＝________.
4．甲、乙两工人在一天生产中出现的废品数分别是两个随机变量X，Y，其分布列分别为
X
0
1
2
3
P
0.4
0.3
0.2
0.1
Y
0
1
2
P
0.3
0.5
0.2
若甲、乙两人的日产量相等，则甲、乙两人中技术较好的是________．
题型一分布列的性质
例1(1)(多选)已知随机变量X的分布列如表(其中a为常数)：
X
0
1
2
3
4
P
0.1
0.2
0.4
0.2
a
则下列计算结果正确的是()
A．a＝0.1 B．P(X≤2)＝0.7
C．P(X≥3)＝0.4 D．P(X≤1)＝0.3
(2)离散型随机变量X的概率分布规律为P(X＝n)＝eq\f(a,n?n＋1?)(n＝1,2,3,4)，其中a是常数，则Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)X\f(5,2)))等于()
A.eq\f(2,3)B.eq\f(3,4)C.eq\f(4,5)D.eq\f(5,6)
思维升华离散型随机变量分布列的性质的应用
(1)利用“概率之和为1”可以求相关参数的值．
(2)利用“在某个范围内的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和”求某些特定事件的概率．
(3)可以根据性质判断所得分布列结果是否正确．
跟踪训练1(1)若随机变量X的分布列为
X
－1
0
1
P
a
eq\f(1,3)
c
则P(|X|＝1)等于()
A.eq\f(1,2)B.eq\f(1,3)C.eq\f(2,3)D.eq\f(1,6)
(2)设随机变量X满足P(X＝i)＝eq\f(k,2i