经历“思维可视化”过程，理解数学本质
［摘要］研究者以“三角形的周长”教学为例，从“实操互动，激活思维”“聚焦等量，揭示本质”“拓展延伸，类比提升”三个环节开展研究，通过“思维可视化”揭示数学本质。“思维可视化”教学的主要策略有：工具开发，体现思维可视化的样态；多元表征，展示思维可视化的过程；探索关联，揭示数学本质。
［关键词］思维可视化；本质；周长
数学是一门逻辑性和抽象性很强的学科，对于以直观想象思维为主的小学生而言，数学学习确实存在一定的困难。“思维可视化”可将内隐的知识、方法或思想外显，便于学生更好地加工与传递信息，从而深入理解知识本质［１］。因此，教师应关注“思维可视化”的研究价值，结合学情与知识特点设计教学活动，尽可能将抽象的知识直观化。“三角形的周长”是小学阶段的重要教学内容之一，教师要引导学生通过尺规作图法将抽象的周长问题直观化，为后续研究正方形、长方形等更多图形的周长奠定基础。
一、教学过程设计
1.实操互动，激活思维
师：图1为一个三角形与一条虚线，如何应用尺规作图法将三角形的三边描述在虚线上，以体现三角形的周长？
学生在问题引导下自主操作，教师巡视，并找出一些典型方法进行投影展示。
师：图2为一名学生的画法，对此你们有什么想法？
生1：这种画法将三角形的三条边分开了，没有连在一起。
生2：老师并没有要求我们将三条线连在一起呀。
生3：三条线还是连在一起比较美观。
……
对于这种画法，学生提出了不同的意见，在学生的争论中，教师提出问题：“若按照图2的画法，虚线两端点的长度与三角形的实际周长之间存在什么关系？”
生（齐声答）：肯定是周长小于虚线这种画法。
师：要体现出三角形的周长，该怎么画更合理？
生4：将前后的线段连起来。
师：如图3，这是另一名学生的画图方法，说说你们的想法。
生5：这样画也不行，因为三角形的边在这条虚线上出现了重叠，那么所获得的长度必然小于三角形的实际周长。
师：究竟该如何画才能与三角形的周长一致呢？
生6：想要在这条虚线上表达三角形的周长，就要确保三条线段之间既不能重合也不能分离。
设计意图：教师选择经典、规范的作品进行展示，可以强化学生对正确方法的理解。但是，教师“反其道而行之”，通过两幅有问题的作品投影，与学生共同探讨问题的根源，让学生自主发现研究三角形周长时的注意事项。这种既关注研究结果，又关注研究过程的教学手法，成功激活了学生的思维，帮助学生积累了操作经验，同时提升了学生的操作与反思能力。教师通过“思维可视化”的教学方法，促使学生进一步感知数学学科的严谨、周密，为揭示三角形周长的本质奠定基础，发展了学生的推理意识、几何直观等核心素养。
2.聚焦等量，揭示本质
教师投影展示学生的标准画法，如图4所示，要求学生自主说明画图方法。
生7：分别用圆规截取三角形三条边的长度，逐条移到虚线上。
师：移动过程中，有什么值得注意的？
生7：要确保下一条线段与前一条线段无缝且不重合地连接。
师：你是怎样确定三角形上的AB边与移动到虚线上的AB线段等长的？
生7：利用圆规测量好三角形上的AB边后，将其移动到虚线上时，圆规两条脚之间的距离没有发生变化。
师：非常好！基于“等量的等量相等”的规则，可明确三角形的周长与虚线上的哪条线段具有相等的关系？
生8：如图4所示，如果以点A为起点作图，那么虚线上的AA′与△ABC的周长相等。原因在于虚线上的AB等于三角形上的AB，虚线上的BC等于三角形上的BC，虚线上的CA′等于三角形上的CA。
师：很好！若以点B为起点画图呢？
生9：如图5所示，同理BB′与三角形的周长相等。
教师对学生的画法表示肯定，并要求学生将整个作图过程与所代表的意义进行详细阐述，进一步明确三角形三边长的和就是三角形周长的本质，让学生对三角形周长有直观的理解，此为思维可视化的体现。
师：除了以上有序画图之外，还存在其他画图方法吗？
生10：图6为以点A为起点的无序画图方法。
师：你们觉得这种画法怎么样？
生11：我认为这种画法也可以，虽然所画的线段没有顺序可言，但最终也是将三角形的三条边顺利移动到了虚线上，因此虚线上最终形成的线段同样为三角形的周长。
师：与图4、图5相比，图6这种画图方法有什么弊端？
生12：如此画图的条理不清晰，由于三角形的线段较少，一般不会出错，但若遇到多边形，则可能会出现重复或遗漏。
师：总结得很好，通过以上探索大家已经明确了三角形的周长就是其三条边的长度和。实际画图时，要遵循条理清晰的原则，避免不必要的错误。
设计意图：将三角形的三条边用尺规作图法移动到一条虚线上，不仅锻炼了学生的手脑协作能力与直观形象思维，还促使学生明确线段的长度之间具有加减性特征，这对发展学生的几何直观能力具有重要价值。作图过程需注意的问题很多，比如线段之间不能出现缝隙、不能重叠，只