*第7章
量子力学中的矩阵形式
与表象变换
一、直角坐标系中的类比
取平面直角坐标系x1x2的基矢为e1和e2,长度为1，彼此正交
标积
我们将其称之为基矢的正交归一关系.
平面上的任一矢量
可以用它们来展开
A1、A2代表A在坐标系中的投影.
称为矢量A在坐标系x1x2中的表示.
7.1量子态的不同表象，么正变换
二、坐标系顺时针转动
现在将坐标系x1x2顺时针方向转动，得到x1′x2′,其基矢为e1′和e2′,满足
在此坐标系中,矢量A表示成
其中投影分量是
同一个矢量A在两个坐标系中的表示有什么关系？
根据(2)和(2)式
上式分别用e1′和e2′点乘,得
表成矩阵的形式为
或记为
把A在两坐标中的表示联系起来的变换矩阵
矩阵R的矩阵元是两个坐标系的基矢之间的标积，它表示基矢之间的关系.故当R给定，则任何一个矢量在两坐标系间的关系也随之确定.
三、变换矩阵的性质
变换矩阵R具有下述性质：
是R的转置矩阵
真正交矩阵
（实矩阵）
R为幺正矩阵
四、不同表象中基矢的关系
量子态和力学量(算符)的不同表示形式,称为表象。
形式上与此类似，在量子力学中，按态叠加原理，任何一个量子态，可以看成抽象的Hilbert空间中的一个“矢量”.体系的任何一组对易力学量完全集F的共同本征态，可以用来构成此空间的一组正交归一完备的基矢（称为F表象）
对于任意态矢量y，可以用它们展开
其中
这一组数
就是态(矢)在F表象中的表示，
它们分别是态矢y与各基矢的标积.
与平常解析几何不同的是：
①这里的“矢量”(量子态)一般是复量；
②空间维数可以是无穷的，甚至不可数的.
现在考虑同一个态y在另一组力学量完全集F′中的表示.
F′表象的基矢,即F′的本征态ya,它们满足正交归一性
对于任意态矢量y，可以用它们展开
这一组系数
就是态(矢)y在F表象中的表示，
显然
(14)左乘
(取标积),得
与
有何关系
其中
F′表象基矢与F表象基矢的标积
(15)式也可以写成矩阵的形式：
简记为
式(17)就是同一个量子态在F′表象中的表示与它在
F表象中表示的关系，它们通过S矩阵相联系，且
变换矩阵S为幺正(unitary)矩阵，此变换也称为幺正变换.