1.1.2空间向量的数量积运算
（一）、回顾平面向量
1.平面向量基本定理
如果QUOTE是同一平面内的两个向量，那么对于这一平面内的任意向量QUOTE，
一对实数QUOTE使QUOTE，其中不共线的向量QUOTE叫表示这一平面内所有向量的一组基底。
结论：（1）若向量QUOTE，QUOTE不共线，则QUOTE的等价条件是QUOTE；
（2）三终点A,B,C共线?存在实数QUOTE使得QUOTE=QUOTE，且QUOTE
2.两个向量的夹角
（1）定义：一直两个非零向量QUOTE，作QUOTE，则∠QUOTE叫做QUOTE与QUOTE的夹角。
（2）范围：夹角QUOTE的取值范围是。
①当QUOTE与QUOTE同向时，QUOTE=；②反向时，QUOTE=；③当QUOTE与QUOTE垂直时，QUOTE=，并记作QUOTE⊥QUOTE。3.两向量的夹角分别是锐角与钝角的充要条件
（1）QUOTE与QUOTE的夹角是锐角?QUOTE·QUOTE0且QUOTE与QUOTE不共线；
（2）QUOTE与QUOTE的夹角是钝角?QUOTE·QUOTE0且QUOTE与QUOTE不共线。
4.平面向量的数量积
（1）定义：QUOTE·QUOTE=，规定QUOTE·QUOTE=；
（2）坐标表示：QUOTE·QUOTE=，其中QUOTE；
（3）运算律
①交换律：QUOTE·QUOTE=；②结合律QUOTE·QUOTE=；
③数乘：QUOTE·QUOTE=.
（4）在QUOTE方向上的投影是；
（5）·QUOTE的几何意义：数量积QUOTE·QUOTE等于的QUOTE模|QUOTE|与QUOTE在的QUOTE方向上的投影的乘积。
5.向量数量积的性质
设QUOTE，QUOTE都是非零向量，是与QUOTE方向相同的单位向量，QUOTE是QUOTE与QUOTE的夹角，则
（1）QUOTE==；（2）QUOTE⊥QUOTE?；（3）QUOTE·QUOTE=；（4）|·QUOTE|≤|QUOTE|·|QUOTE|.
（二）、学习空间向量
知识点一：空间向量数量积的运算
空间向量的数量积
(1)、定义：已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b.即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．规定：零向量与任何向量的数量积为0.
(2)、常用结论(a，b为非零向量)
①a⊥b?a·b＝0.②a·a＝|a||a|cos〈a，a〉＝|a|2.③cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|).
(3)数量积的运算律
数乘向量与数量积的结合律
(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)
交换律
a·b＝b·a
分配律
a·(b＋c)＝a·b＋a·c
知识点二：利用数量积证明空间垂直关系当a⊥b时，a·b＝0.
知识点三：夹角问题
1.定义：已知两个非零向量、，在空间任取一点D，作，则∠AOB叫做向量与的夹角，记作，如下图。
根据空间两个向量数量积的定义：，
那么空间两个向量、的夹角的余弦。
知识点诠释：
（1）规定:
（2）特别地，如果，那么与同向；如果，那么与反向;如果,那么与垂直,记作。
2.利用空间向量求异面直线所成的角
异面直线所成的角可以通过选取直线的方向向量，计算两个方向向量的夹角得到。
在求异面直线所成的角时，应注意异面直线所成的角与向量夹角的区别：如果两向量夹角为锐角或直角，则异面直线所成的角等于两向量的夹角；如果两向的夹角为钝角，则异面直线所成的角为两向量的夹角的补角。
知识点四：空间向量的长度
1.定义：
在空间两个向量的数量积中，特别地，所以向量的模：
将其推广：
；。
2.利用向量求线段的长度。
将所求线段用向量表示，转化为求向量的模的问题。一般可以先选好基底，用基向量表示所求向量，然后利用来求解。
重难