探究一定点问题提高专题16
探究一定点问题
【方法储备】
在解析几何中，动直线或动曲线不论如何变化总是经过某定点，探求这个定点的坐标，称为“定点问题”．定点问题的主要考查形式有①圆锥曲线中的直线过定点问题；②圆锥曲线中的圆过定点问题；
圆锥曲线中定点问题的解题策略：
1.参数法：①动直线l过定点问题，解法：设动直线方程(斜率存在)为y=kx+t，由题设条件将t用k表示为t=mk，得y=k(x+m)，故动直线过定点(-m,0)．
②动曲线C过定点问题，解法：引入参变量建立曲线C的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点.
2.特殊法：由特殊到一般法求解定点问题时，常根据动点或动直线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.
【典例精讲】
例1.(2022·湖南省长沙市模拟)已知椭圆C:x26+y23=1，过圆E:x2+y2=2上任意一点P作圆E的切线l，l与椭圆C交于
例2.(2023·江苏省南京市月考)在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右顶点分别为A，B，F
(1)求椭圆C的方程；
(2)不过点A的直线l交椭圆C于M，N两点，记直线l，AM，AN的斜率分别为k，k1，k2.若k(
例3.(2023·浙江省杭州市模拟)已知F为抛物线C:y2=2px(p0)的焦点，过点P(-1,1)的直线与抛物线C交于不同的两点A，B
(I)求抛物线C的方程;
(Ⅱ)过点B且斜率为2的直线与直线PF交于点Q，BQ=QM，证明：直线
【拓展提升】
练11(2023·乙卷理科)已知椭圆C:y2a2+x2b2
(1)求C的方程
(2)过点(-2,3)的直线交椭圆C于点P，Q两点，直线AP，AQ与y轴的交点分别为M，N，证明：线段MN的中点为定点．
探究二定值问题练12(2022·湖北省襄阳市期末)已知双曲线E:x2a2-
探究二定值问题
(1)求双曲线E的方程．
(2)设点P(12,0)，A为双曲线E上一点，B为A关于原点的对称点，直线AP，BP与双曲线E分别交于异于A，B的两点C，D.试问：直线CD
【方法储备】
圆锥曲线中有些几何量如直线的斜率、两点间的距离、图形的面积、线段或角的比值及基本几何量和变量无关，这类问题统称为“定值问题”．定值问题的主要考查形式有①圆锥曲线中面积为定值问题；②圆锥曲线中斜率为定值问题；③圆锥曲线中线段为定值问题.
圆锥曲线中定值问题的解题策略：
1.特殊法：从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；
2.引进变量法：其解题流程为：
3.直接法：直接推理，在计算过程中消去变量，从而得到定值．消元的常用方法为整体消元、选择消元、对称消元等．
强调：
（1）设点是椭圆C：上一定点，点A、B是椭圆C上不同于P的两点，若，则λ=0时直线AB斜率为定值，若，则直线AB过定点；
（2）设点是双曲线C：一定点，点A、B是双曲线C上不同于P的两点，若，则λ=0时直线AB斜率为定值，若，则直线AB过定点；
（3）设点是抛物线C：一定点，点A、B是抛物线C上不同于P的两点，若，则λ=0时直线AB斜率为定值，若，则直线AB过定点.
【典例精讲】
?例4.(2023·湖南省长沙市模拟)已知双曲线C的中心在原点，D(1,0)是它的一个顶点，焦点到渐近线的距离为2．
(1)求双曲线C的方程；
(2)若过点(-3,0)任意作一条直线与双曲线C交于A，B两点(A,B都不同于点D)，求证：DA?
例5.(2023·湖南省长沙市期末)过抛物线y2=2px(p0)的对称轴上的定点M(m,0)(m0)，作直线AB与抛物线相交于A，B两点．
(1)证明：A，B两点的纵坐标之积为定值；
(2)若点N是定直线l:x=-m上的任一点，设直线AN，MN，BN的斜率分别为k1,k2
【拓展提升】
练21(2023·湖南省长沙市模拟)已知椭圆E:x2a2+y
(1)求椭圆E的方程；
(2)若经过点-2,-1，且斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点P，Q(均异于点A)，证明：直线AP与AQ的斜率之和为定值．
练22(2022·山东省青岛市模拟)已知a=(x-1,y)，b=(x+1,y)，|a|+|b|=4．
(1)求M(x,y)的轨迹方程C；
(2)P为曲线C上一动点，F1(-1,0)，F2(1,0)，求PF1?PF2的最大值和最小值；
(3)直线l与曲线
探究三定
探究三定线问题
圆锥曲线中的定线问题以求证探究类居多,最常见的便是证明或探究两条直线的交点在定直线上.处理定线问题的核心思想,就是通过核心条件,建立目标点横纵坐标之间的关系.而这其中大部分情形,往往都是定直线与坐标轴平行或垂直,即直线方程为x=a或y=a.
圆锥曲线中定线问题的解题策略：
1.设点法：通过已知