2024~2025学年度高一下学期期中考试
数学
全卷满分150分，考试时间120分钟。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若复数满足，则（）
A． B． C． D．
2．已知向量，，若，则（）
A． B． C． D．1
3．如图，斜二测画法的直观图是，的面积为6，那么的面积为（）
A． B． C． D．
4．已知平面，且，，则直线，的关系为（）
A．不可能相交 B．一定异面
C．一定平行 D．相交、平行或异面都有可能
5．已知圆锥的母线长为2，轴截面面积为，则圆锥的侧面积为（）
A． B．或 C． D．或
6．在中，内角，，的对边分别为，，．已知，，，则此三角形（）
A．无解 B．有一解 C．解的个数不确定 D．有两解
7．如图，为了测量河对面，两建筑物之间的距离，小胡同学在处观测，，分别在处的北偏西、北偏东方向．再往正东方向行驶32米至处，观测在处的正北方向，在处的北偏西方向，则，两建筑物之间的距离为（）
A．米 B．米
C．米 D．米
8．如图所示，在正方体中，，分别为，上的中点，且，点是正方形内的动点，若平面，则点的轨迹长度为（）
A． B．
C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知复数满足，是的共轭复数，则下列说法正确的是（）
A．复数在复平面中对应的点在第三象限 B．的虚部为
C． D．
10．下列说法不正确的是（）
A．若直线平面，则与内任何直线都平行
B．若直线，不共面，则，为异面直线
C．若直线平面，平面平面，则
D．如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等
11．在中，角，，的对边分别为，，，，角的角平分线交于点，，，则下列说法正确的是（）
A． B．
C．的面积为 D．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知平面向量，，满足，，且，则________．
13．将一实心铁球放入圆柱形容器中（厚度忽略不计），铁球恰好与圆柱的内壁相切，且铁球的最高点与圆柱上底面在同一平面内，则铁球的体积与圆柱形容器的体积之比为________．
14．拿破仑定理是法国著名军事家拿破仑·波拿巴最早提出的一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边，向外构造三个等边三角形，则这三个等边三角形的外接圆圆心恰为另一个等边三角形（此等边三角形称为拿破仑三角形）的顶点”．在中，已知，且，现以，，为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次记为，，，则的面积的最大值为________．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．
15．（本小题满分13分）已知复数，且为纯虚数．
（1）求复数；
（2）若复数，求复数的模．
16．（本小题满分15分）如图，在四棱锥中，四边形是平行四边形，，交于点，点是棱上的一点，且平面．
（1）求证：点是的中点；
（2）在棱上是否存在点，使得平面平面？若存在，请加以证明，并写出的值；若不存在，请说明理由．
17．（本小题满分15分）在平面直角坐标系中，，，．
（1）若，求实数，的值；
（2）若，求实数的值．
18．（本小题满分17分）如图，在中，点满足，是线段的中点，过点的直线与边，分别交于点，．
（1）若，求的值；
（2）若，，求的最小值．
19．（本小题满分17分）在中，设角，，所对的边分别为，，，已知，且三角形的外接圆半径为．
（1）求的大小；
（2）若的面积为，求的值；
（3）设的外接圆圆心为，且满足，求的值．
参考答案、提示及评分细则
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
B
D
A
A
B
D
D
A
题号
9
10
11
答案
AC
ACD
AC
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．【答案】B
【解析】由题意，，则，故选B．
2．【答案】D
【解析】，，∵，∴，即，∴．故选D．
3．【答案】A
【解析】由，则，如图，作出还原后，则，故，所以．故选A．
4．【答案】A
【解析】由平面，且，可知直线，没有公共点，故它们一定不相交，即可能是平行或异面．故选A．
5．【答案】B
【解析】设圆锥的底面半径为，高为，则，且，解得或，所以圆锥的侧面积为或，故选B．
6．【答案】D
【解析】由正弦定理，得，解得．因为，所以．又因为，所以或，故此三角形有两解．故选D．
7．【答案】D
【解析】由题意知，，，所以，在中，由正弦定理，得，解得，又，，所以，，又，在中，由余弦定理，得，解得，所以