第13讲向量的应用
知识梳理
1、平面向量分解定理：
如果是同一平面内的两个不平行向量，那么对于这一平面内的任意向量有且只有一对实数，使．我们把不平行的向量叫做这一平面内所有向量的一组基．
注意：
（1）基底不共线；
（2）将任一向量在给出基底的条件下进行分解；
（3）基底给定时，分解形式唯一，是被唯一确定的数量
几何角度证明：
如图，在平面内取一点O，作，，，再作直线OA、OB．
设点C不在直线OA和OB上，过点C分别作直线OA、OB的平行线，由于向量不平行，可知所作两直线分别与直线OB、OA有唯一的交点，记为N、M．作向量、．
因为，所以存在唯一的实数，使．
因为，所以存在唯一的实数，使．
而四边形OMCN是平行四边形，因此．
即=．
如果点C在直线OA或OB上，那么或．
这时得或．所以关于、的分解式总是确定的．
代数角度：证明唯一性：
（1）当时，
（2）当时，假设，则有=,
．
由于不平行，故，即．
2、重要结论
设不平行，点在上存在实数使得
证明：如图，设向量，
【的正负可以给学生讲一下】
3、平面向量和三角形四心
（1）是的重心．
证法1：设
是的重心．
证法2：如图
三点共线，且分为2：1
是的重心
（2）设,,是三角形的三条边长，I是ABC的内心为的内心．
证明：
（)
分别为方向上的单位向量，
平分,
IA为ABC中的角平分线，
同理可证IB为ABC中的角平分线，IC为ABC中的角平分线。
点I为ABC的内心。
（3）为的垂心．
证明：如图所示是三角形ABC的垂心，BE垂直AC，AD垂直BC，D、E是垂足．
同理，
（4）为的外心。
（5）四心重要的结论：
Ⅰ、外心（外接圆圆心O中垂线的交点）
①．（R为外接圆半径）．
②．．
③．推广：（D为BC的中点，G为△ABC的重心）．
④．*圆心角是圆周角的两倍．
⑤．*
Ⅱ、重心（G中线的交点）
①．．
②．or．
③．若，则其重心的坐标为．
④．重心分每条中线分为2：1的两短．
Ⅲ、内心（内切圆圆心I角平分线的交点）
①．注：表示为∠A的角平分线．
②．．
Ⅳ、垂心（H角平分线的交点）
①．．
②．*
4、运用向量方法解决平面几何问题可以分哪几个步骤？
“三步曲”：
(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；
(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；
(3)把运算结果“翻译”成几何关系．
例题解析
1、平面向量的分解定理
例1.[华师大二附中高二（上）期中·12]下列有关平面向量分解定理的四个命题中：
①一个平面内有且只有一对不平行的向量可作为表示该平面所有向量的基；
②一个平面内有无数多对不平行向量可作为表示该平面内所有向量的基；
③平面向量的基向量可能互相垂直；
④一个平面内任一非零向量都可唯一地表示成该平面内三个互不平行向量的线性组合．
正确命题的个数是()
A．1 B．2 C．3 D．4
例2[位育中学期中·13]平面内有三个向量eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))，eq\o(OC,\s\up6(→))，其中eq\o(OA,\s\up6(→))与eq\o(OB,\s\up6(→))的夹角为120°，eq\o(OA,\s\up6(→))与eq\o(OC,\s\up6(→))的夹角为30°，且|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝|eq\o(OB,\s\up6(→))|＝1，|eq\o(OC,\s\up6(→))|＝2eq\r(3)，若eq\o(OC,\s\up6(→))＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＋μeq\o(OB,\s\up6(→))(λ，μ∈R)，则λ＋μ的值为________．
例3.[普陀区晋元中学期中·16]如图所示，A，B，C是圆O上的三点，线段CO的延长线与线段BA的延长线交于圆O外的点D，若eq\o(OC,\s\up6(→))＝meq\o(OA,\s\up6(→))＋neq\o(OB,\s\up6(→))，则m＋n的取值范围是()
A．(0,1) B．(1，＋∞) C．(－∞，－1) D．(－1,0)
例4.如图，在△ABC中，AF＝eq\f(1,3)AB，D为BC的中点，AD与CF交于点E．若eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b，且eq\o(CE,\s\up6(→))＝xa＋yb，则x＋y＝________．
例5.如图，设向量eq\o(OA,\s\up6(→))＝(3，1)，eq