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第七章三角形
【学问要点】一．生疏三角形
1．关于三角形的概念及其按角的分类
定义：由不在同始终线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。2．三角形的分类：
①三角形按内角的大小分为三类：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。
②三角形按边分为两类：等腰三角形和不等边三角形。2．关于三角形三条边的关系〔推断三条线段能否构成三角形的方法、比较线段的长短〕依据公理“两点之间，线段最短”可得：
三角形任意两边之和大于第三边。三角形任意两边之差小于第三边。
与三角形有关的线．段．：三角形的角平分线、中线和高
三角形的角平分线：三角形的一个角的平分线与对边相交形成的线段；
三角形的中线：连接三角形的一个顶点与对边中点的线段，三角形任意一条中线将三角形分成面积相等的两个局部；
三角形的高：过三角形的一个顶点做对边的垂线，这条垂线段叫做三角形的高。留意：①三角形的角平分线、中线和高都是线段，不是直线，也不是射线；
②任意一个三角形都有三条角平分线，三条中线和三条高；
③任意一个三角形的三条角平分线、三条中线都在三角形的内部。但三角形的高却有不同的位置：锐角三角形的三条高都在三角形的内部；直角三角形有一条高在三角形的内部，另两条高恰好是它两条直角边；钝角三角形一条高在三角形的内部，另两条高在三角形的外部。
④一个三角形中，三条中线交于一点，三条角平分线交于一点，三条高所在的直线交于一点。〔三角形的三条高〔或三条高所在的直线〕交与一点，锐角三角形高的交点在三角形的内部，直角三角形高的交点是直角顶点，钝角三角形高〔所在的直线〕的交点在三角形的外部。〕
三角形的内角与外角
三角形的内角和：180°
引申：①直角三角形的两个锐角互余；
②一个三角形中至多有一个直角或一个钝角；
③一个三角中至少有两个内角是锐角。
三角形的外角和：360°
三角形外角的性质：
①三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；——常用来求角度
②三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。——常用来比较角的大小5.多边形的内角与外角
〔1〕多边形的内角和：〔n-2〕180°
多边形的外交和：360°
引申：〔1〕从n边形的一个顶点动身能作〔n-3〕条对角线；
多边形有n(n 3)条对角线。
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从n边形的一个顶点动身能将n边形分成〔n-2〕个三角形；
※6．镶嵌
同一种正三边形、正四边形、正六边形可以进展平面镶嵌；
正三角形与正四边形、正三角形与正六边形……可以进展平面镶嵌；
同一种任意三角形、任意四边形可以进展镶嵌。
【典型例题】
考点一：三角形的分类
例题1：具备以下条件的三角形中，不是直角三角形的是〔 〕。A：∠A+∠B=∠C B：∠A=∠B= ∠C C：∠A=90°-∠B D：∠A-∠B=90
例题2：等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则顶角的度数为( )．A．60° B．120° C．60°或150° D．60°或120°
考点二：三角形三边的关系
DA
D
D EPA
D E
P
B C B
图1
图2 C B 图3 C
例题1：：如图1，△ABC中，D是AB上除顶点外的一点.，求证：AB+ACDB+DC；
变式一：：如图3，△ABC中，点P为△ABC内任一点求证：AB+BCPB+PC
延长BP与AC交于点D,
依据三角形三边的关系：有AB?AD?BD即AB?AD?BP?BD(1)
PD?DC?PC(2)
+(2)-PD得AP?AC?PB?PC
变式二：如图2，点P为△ABC内任一点，求证：PA+PB+PC1
2
(AB+BC+AC);
变式三：如图3，D、E是△ABC内的两点，求证：AB+ACBD+DE+EC.
例题2：现有两根木棒，它们的长分别是40cm和50cm，假设要钉成一个三角形木架，则在以下四根木棒中应选取长为〔 〕
A.100cm的木棒 B.90cm的木棒 C.40cm的木棒 D.10cm的木棒练习：
以下长度的三条线段能组成三角形的是 〔 〕A、3，4，8 B、5，6，11 C、1，2，3 D、5，6，10
一个等腰三角形的两条边长分别为8㎝和3㎝，那么它的周长为 19cm .
考点三：三角形的中线的性质
例题1：将△ABC分成面积相等的四个三角形。
A A A
B C
方法一
B C
方法二
B C
方法三
例题2：：如图，AD、BC、DE是△ABC的三条中线，O为交点。
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FOE求证：〔1〕
F
O
E
?AOE
? S
6 ?ABC
AO: