24.2圆的基本性质
第2课时
1.探索圆的对称性，进而得到垂径定理及其推论；
2.能利用垂径定理及其推论解决相关证明、计算及实际问题；
3.经历探索垂径定理及其推论的过程，发展推理能力，让学生领会数学的严谨性，培养学生实事求是的科学态度；
4.进一步体会和理解研究几何图形的各种方法；培养学生独立探索，相互合作交流的精神，并体验发现的乐趣.
垂径定理
什么是轴对称图形？
如果一个图形沿一条直线，直线两旁的部分能够互相，那么这个图形叫轴对称图形.
对折
重合
我们学过哪些轴对称图形？
……
在纸上任意画一个⊙O，以⊙O的一条直径为折痕，把⊙O折叠，你发现了什么？
O
①圆是轴对称图形，
②任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴.
证明：过点A作AA?CD，交⊙O于点A，
垂足为M，连接OA，OA
在△OAA中，∵OA?OA
∴△OAA是等腰三角形
又∵AA?CD
∴AM=MA，即CD是AA的垂直平分线.
如图，设CD是⊙O的任意一条直径，A为⊙O上点C，D以外的任意一点.证明点A关于直线CD的对称点仍在⊙O上.
C
D
A
A
M
O
如图，在折叠⊙O后，用针在半圆上刺一个小孔，得两个重合的点A，B，把折叠的圆摊平，那么折痕CD是直径，点A，B是关于直线CD的一对对应点，连接AB，得弦AB，这时直径CD与弦AB有怎样的位置关系？
O
C
D
A
B
E
CD?AB
△AOB是等腰三角形
AE?EB
与重合；
与重合.
题设：
①CD是⊙O直径
②CD?AB
①直径
②垂直于弦
垂径定理：
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧.
结论：
①平分弦
②平分弦所对的两条弧
①AE?BE
②，
下列图形是否具备垂径定理的条件？
（1）
（2）
（3）
（4）
没有垂直
AB、CD都不是直径
垂径定理：
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧.
怎样修改图（2）、（4）能够满足垂径定理的条件？
（1）
（2）
（3）
（4）
当直径CD平分一条弦AB(不是直径)时，能否得出CD?AB?
C
D
E
垂径定理的推论：
平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.
判断下列说法是否正确：
1.垂直于弦的直线平分弦，并且平分弦所对的两条弧.
2.平分弦的直径垂直于弦.
3.平分一条直径的弦必垂直于这条直径.
①过圆心，
②垂直于弦，
③平分弦，
④平分弦所对的优弧，
⑤平分弦所对的劣弧.
④平分弦所对的弧，
①②→③④⑤
①③→②④⑤
①过圆心，②垂直于弦，③平分弦,
④平分弦所对的优弧，⑤平分弦所对的劣弧.
条件
结论
①②
③④⑤
垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.
①③
②④⑤
平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.
①④
②③⑤
①⑤
②③④
平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分这条弦，并且平分弦所对的另一条弧.
②③
①⑤④
弦的垂直平分线经过圆心，并且平分这条弦所对的两条弧.
……
……
……
例1：如图，⊙O的半径为5cm，弦AB为6cm，求圆心O到弦AB的距离.
E
解：连接OA，过圆心O做OE?AB，垂足为E.
AE?EB
又∵OA?5cm
∴在Rt△OEA中，有
即圆心O到弦AB的距离是4cm.
B
A
O
D
C
R
例2：赵州桥建于1400年前的隋朝，是我国石拱桥中的代表性桥梁，桥的下部呈圆弧形，桥的跨度(弧所对的弦长)为37.4m，拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m，求赵州桥桥拱所在圆的半径(精确到0.1m).
解：过桥拱所在圆的圆心O作AB的垂线，交于点C，交AB于点D，则CD?7.2m.
由垂径定理，得
设⊙O的半径为Rm，在Rt△AOD中，AO?R，OD?R?7.2，AD?18.7.
由勾股定理得：AO2?OD2?AD2，
∴R2?(R?7.2)2?18.72
答：赵州桥的桥拱所在圆的半径约为27.9m.
解得：R?27.9.
C
2.在半径为4cm的⊙O中，有长为4cm的弦AB.计算：
(1)点O与AB的距离；
(2)?AOB的度数.
C
解：(1)过点O作AB的垂线，垂足为C，连接OA.
由垂径定理得：