试卷第=page11页，共=sectionpages33页
试卷第=page11页，共=sectionpages33页
二次函数中菱形的存在性问题
2025年中考数学复习专项
1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C，连接．
(1)求抛物线的函数解析式；
(2)P为直线上方抛物线上一动点，当的面积最大时，求点P的坐标；
(3)Q是对称轴上一动点，R是平面内任意一点，当以B，C，Q，R为顶点的四边形为菱形时，求点R的坐标．
2．如图①，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交x轴于A，B两点，交y轴于点，若点B的坐标为，点D是该二次函数图象上的一个动点，且在第一象限．
(1)求二次函数的表达式：
(2)连接，过点D作轴于点E，交线段于点F，当点D运动到什么位置时，线段有最大值？请求出点D的坐标和的最大值；
(3)连接，若关于y轴的对称图形是，是否存在点D，使得四边形为菱形？若存在，求出点D的坐标，若不存在，请说明理由．
3．如图，抛物线与x轴交于点和点．与y轴交于点C，连接，．
(1)求该抛物线的函数解析式．
(2)点P是直线下方抛物线上的一个动点，过点P作的平行线l，交线段于D．
①试探究：在直线l上是否存在点E，使得以点D，C，B，E为顶点的四边形为菱形，若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由；
②设抛物线的对称轴与直线l交于点M，与直线交于点N．当时，请直接写出的长．
4．已知直线与x轴交于A??，与y轴交于点B，抛物线与x轴交于A，C两点，与y轴交于点B
(1)求这个抛物线的解析式
(2)若P是直线上方抛物线上一点，存在点P使得，求点P的坐标
(3)在对称轴上是否存在点Q，使得的周长最小，若存在，请直接写出Q点坐标，若不存在，请说明理由
(4)点M在x轴上，在坐标平面内是否存在点N，使以A??，B??，M，N为顶点的四边形是菱形，若存在直接写出点N的坐标，若不存在，请说明理由．
5．抛物线交轴于点和点，交轴于点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)若点是直线下方抛物线上一动点，连接，当的面积最大时，求点的坐标及面积的最大值；
(3)在（2）的条件下，若点是直线上的动点，在平面内的是否存在点（点在下方），使得以为边、以为顶点的四边形是菱形，请直接写出符合条件的所有点的坐标．
6．如图，抛物线交轴于点和点，交轴于点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)若点是直线下方抛物线上一动点，连接，当的面积最大时，求点的坐标及面积的最大值；
(3)在（2）的条件下，若点是直线上的动点，在平面内的是否存在点，使得以、、、为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出符合条件的所有点的坐标；若不存在，请说明理由．
7．如图1，一次函数y＝x﹣4的图象分别与x轴，y轴交于B，C两点，二次函数y＝ax2﹣x＋c的图象过B，C两点，且与x轴交于另一点A．
(1)求二次函数的表达式；
(2)点P是二次函数图象的一个动点，设点P的横坐标为m，若∠ABC＝2∠ABP．求m的值；
(3)如图2，过点C作CD∥x轴交抛物线于点D．点M是直线BC上一动点，在坐标平面内是否存在点N，使得以点C，D，M，N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
8．如图，抛物线y＝ax2＋bx＋4交x轴于点A（﹣1，0）、B（4，0），交y轴于点C，点P是直线BC上方抛物线上的一点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)求△PBC的面积的最大值以及此时点P的坐标；
(3)在（2）的条件下，将直线BC向右平移个单位得到直线l，直线l交对称轴右侧的抛物线于点Q，连接PQ，点R为直线BC上的一动点，请问在平面直角坐标系内是否存在一点T，使得四边形PQTR为菱形，若存在，请直接写出点T的坐标；若不存在，请说明理由．
9．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝﹣x2＋x＋2与x轴相交于A，B两点，与y轴交于点C．
(1)求B、C两点的坐标；
(2)点P为直线BC上方抛物线上的任意一点，过P作PF∥x轴交直线BC于点F，过P作PE∥y轴交直线BC于点E，求线段EF的最大值及此时P点坐标；
(3)将该抛物线沿着射线AC方向平移个单位得到新抛物线y′，N是新抛物线对称轴上一点，在平面直角坐标系中是否存在点Q，使以点B、C、Q、N为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点Q点的坐标；若不存在，请说明理由．
10．知抛物线与轴有两个交点．
(1)求的取值范围；
(2)如图1，设抛物线与轴交于、两点，且点在点的左侧，点是抛物线与轴的交点，为坐标原点，如果是等腰直角三角形，求抛物线的解析式；
(3)如图2，在（2）的条件下，是的正半轴上一点，过点作轴的平行线，与直线交于点，与抛物线交于点，连结，将沿翻折，的对应点为