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2025年中考数学一轮复习
等腰等边三角形“三线合一”训练小专题
1．在中，，，点D是的中点，点E是线段上的动点，过点E作交于点F，连接，若．
(1)求证：；
(2)求的长．
2．如图，在中，是边上的中线，是的中点，过点作，交的延长线于点，连接．
(1)求证：；
(2)若，判断四边形的形状：________（填“菱形”、“矩形”或“正方形”），并证明．
3．如图，在平行四边形中，平分，交于点E，平分，交于点F．
(1)求证：．
(2)若，求证：四边形是矩形．
4．如图，，是中点，，．
(1)求证：四边形是矩形．
(2)若，，是上一点，且，求的长．
5．在等腰中，，点是的中点，要求用尺规作图的方法在上找一点，连结，使得．现有甲、乙、丙三位同学的做法如下：
(1)①做法正确的同学有___________；
②请选择你认为正确的一种做法给出证明；
(2)用尺规作图的方法画出一种不同于以上三位同学的画法．
6．如图，都是的半径，．
(1)求证：；
(2)若，，求．
7．如图，，，点D是上一点（），连接，将绕点A逆时针旋转得到，M为的中点，，的延长线相交于G，与相交于点F．
(1)求证：；
(2)求证：；
(3)若，求的长．
8．如图1，“天幕”是大家特别喜欢的一种露营设备，通常由支杆、天幕布、拉绳组成．图2是其截面示意图，天幕布，为可伸缩支杆，拉绳、固定在水平地面上，且点A、D、E共线，点A、C、F共线，于点B，于点O．拉绳在地面的固定点E与点B的距离，，．
(1)求拉绳的长；
(2)如图3，现将支杆向上伸长至点，同时将固定点E、F分别移动至、，使、、共线，、、共线，且，在此过程中，拉绳长度保持不变，求的长．（结果保留根号）
9．在四边形中，
(1)如图①，求证：
(2)如图②，在边上分别取中点M、N，连接．若，求的度数．
10．如图所示，中，D是边上一点，E是的中点，过点A作的平行线交的延长线于F，且，连接．
(1)求证：D是的中点；
(2)若，试判断四边形的形状，并证明．
11．如图，在中，点是边的中点，点，G在边上，，交于E，．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若，求的长．
12．如图，在中，平分交于点D，点F在上，连接，E为的中点，、交于点G，连接．
(1)若，求的长；
(2)若点F在直线上，当时，求的长．
13．在中，，，点为的中点．
(1)若，两边分别交于两点．
①如图1，当点分别在边和上时，求证：；
②如图2，当点分别在和的延长线上时，连接，若，则______．
(2)如图3，若，两边分别交边于，交的延长线于，连接，若，，试求的长．
14．如图，中，，点M、N分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边顺时针运动，点M的速度为，点N的速度为，当点M，点N第一次相遇时，点M，点N同时停止运动，设点M，点N的运动时间为t（）秒．
(1)当时，；当时，．
(2)当点N在上时，；当点N在上时，（分别用含t的代数式表示）．
(3)点N在上时，请问t为何值时，是直角三角形，并说明理由．
(4)连结，请问t为何值时，线段的垂直平分线经过的某一顶点，并说明理由．
15．在平面直角坐标系中，点A，B在坐标轴上，，．点C为的中点，D为上一点．
(1)如图（1），将线段绕点A逆时针旋转，得到线段．
①求证：．
②P为x轴上一点，且在点D左侧，点D关于点P对称的点为Q，连接，．是否存在这样的点P，使得对于任意的点D，总有成立？若存在，请写出P的坐标，并证明；若不存在，请说明理由．
(2)如图（2），过点C作的垂线，交y轴于点F．连接，．若，请写出，，的数量关系，并证明．
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《2025年中考数学一轮复习等腰等边三角形“三线合一”训练小专题》参考答案
1．(1)见解析
(2)4.5
【分析】本题考查的是勾股定理、等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟知勾股定理是解题的关键．
（1）根据等腰三角形的性质得到，证明，根据垂直的定义即可得证；
（2）根据勾股定理可得，再由三线合一定理得到，则可利用勾股定理求出的长，进而得到，据此建立方程求解即可．
【详解】（1）证明：，
，
，
，
，，
，
，
；
（2）解：，
，
，点是的中点，
，，
，
，
，
在中，，
，
解得：．
2．(1)证明见解析；
(2)四边形是矩形，理由见解析．
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，平行四边形、矩形的判定，全等三角形的判定与性质，掌握知识点的应用是解题的关