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2025年九年级数学中考三轮冲刺训练
等腰三角形的性质和判定综合训练
1．如图，在中，于点D，E为上一点，连接并延长交线段于点F，．
(1)如图1，若，求的长；
(2)如图2，过点B作交延长线于点H，连接，若．求证：．
2．某学习小组遇到这样一个问题：如图1所示，在中，平分，．
(1)请观察猜想之间的数量关系；
(2)探究迁移：如图2所示，，是四边形的对角线，，求证：；
(3)思维拓展：如图3所示，在中，，是的中点，交于点，点在上，，请直接写出三者之间的数量关系．
3．如图，已知，，将线段绕着点顺时针旋转得到线段，作点关于直线的对称点，连接交直线于点．
(1)若，则的度数为______；
(2)猜想线段、、之间的数量关系，并证明；
(3)若，当长为时，求的面积．
4．将一副斜边相等的三角板按图1所示摆放，得到四边形，过点作．
(1)求证：；
(2)如图2所示，将绕点顺时针旋转．
①延长交于点，求证：四边形是正方形；
②连接，直接用等式表示线段与之间的数量关系．
5．在中，，平分交于在上，且．
(1)求的度数；
(2)求证：．
6．如图，在中，点D在边上，且．在边上截取，过点E作交于点F．
(1)求证：；
(2)连接，若，，求的度数．
7．如图1，在等腰中，，为等腰直角三角形，，，连接．
(1)求的度数；
(2)如图2，是的中点，连接并延长交于点，连接，以，为邻边作平行四边形．
（Ⅰ）求证：四边形是正方形；
（Ⅱ）求的值．
8．已知如图，在中，，垂足为点，点是的中点．
(1)如图1，连接，若，，求的长；
(2)如图2，点是延长线上一点，连接，将绕点顺时针旋转得到，若点恰好在的延长线上时，探索并证明线段之间的数量关系；
(3)如图3，点是直线上一点，以为腰作等腰直角，，连接，若，当为直角三角形时，请直接写出的值．
9．在中按以下步骤进行尺规作图．
（1）①以为圆心，任意长为半径画弧，交于点，交于点；
②以点为圆心，以长为半径画弧交于点；
③以点为圆心，以长为半径画弧交前弧于点；
④作射线交于点．
（2）以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交、于点、．分别以点、为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点，交于点．
请根据上述尺规作图过程，
(1)证明：；
(2)已知，，求的值．
10．如图，已知在中，，，点D为边上的一点，点E为线段上一点．若，延长交于点F，边的高交于点H．
(1)若为的平分线，求证：．
(2)若为的中线，联结，求证：．
11．自行车骑行是一项充满乐趣和挑战的爱好．通过骑自行车，可以享受自由、放松身心、增强体力和耐力，欣赏大自然的美景，还可以与他人一同分享美妙的体验．图1为一骑行山地车，图2是该车的车架示意图，已知立管与上管垂直，立管比上管短，前下管，后下叉与立管所成的夹角为74°，即．
(1)求立管的长；
(2)当时，求后下叉的长．（结果精确到，参考数据，）
12．九年级一班同学在数学老师的指导下，以“等腰三角形的旋转”为主题，开展数学探究活动．
(1)操作探究：如图1，为等腰三角形，，将绕点O旋转，得到，连接，F是的中点，连接，则°，与的数量关系是；
(2)迁移探究：如图2，（1）中的其他条件不变，当绕点O逆时针旋转，点D正好落在的角平分线上，得到，求出此时的度数及与的数量关系；
13．已知，在矩形中，E为延长线上一点，且，连接交于点F，点G，H分别为，的中点，连接交于点M，如图1．
(1)求证：；
(2)试判断的形状，并说明理由；
(3)若四边形是正方形，如图2，求的值．
14．如图，在中，，，E为的延长线上一点，过点E作，分别交，于点P，F．
(1)求证：是等腰三角形．
(2)若，求的度数．
15．“在一条直线上有三个直角顶点”的几何图形，我们一般称其为“一线三垂直”图形，随着几何学习的深入，我们还将对这类图形有更深入的探索：
????
(1)如图1，、和都是直角三角形，其中，且直角顶点都在直线上，探索、、之间的数量关系，并证明你的结论．
(2)如图2，在中，，，过点作直线，于点，于点，若，，请直接写出的面积；
(3)如图3，和都是等腰直角三角形，，，，且点在上，连接，试猜想线段与线段的位置关系，并证明你的结论．
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《2025年九年级数学中考三轮冲刺训练等腰三角形的性质和判定综合训练》参考答案
1．(1)1
(2)见解析
【分析】（1）先判断出为等腰直角三角形，进而证明，即可求解；
（