§9.2用样本估计总体
课标要求1.会用统计图表对总体进行估计，会求n个数据的p%分位数.2.能用数字特征估计总体集中趋势和总体离散程度．
知识梳理
1．百分位数
设一组数按照从小到大排列后为x1，x2，…，xn，计算i＝np%的值，如果i不是整数，设i0为大于i的，取xi0为p%分位数；如果i是整数，取eq\f(xi＋xi＋1,2)为p%分位数．特别地，规定：0分位数是x1(即最小值)，100%分位数是(即最大值)．
2．平均数、中位数和众数
(1)平均数：eq\x\to(x)＝________________________.
(2)中位数：将一组数据按从小到大或从大到小的顺序排列，处在最________的一个数据(当数据个数是奇数时)或最中间两个数据的(当数据个数是偶数时)．
(3)众数：一组数据中出现次数________的数据(即频数最大值所对应的样本数据)．
3．方差和标准差
(1)方差：s2＝____________________________或eq\f(1,n)eq\i\su(i＝1,n,x)eq\o\al(2,i)－eq\x\to(x)2.
(2)标准差：s＝________________________.
4．用样本的数字特征估计总体的数字特征
(1)一般情况下，如果样本容量恰当，抽样方法合理，在估计总体的数字特征时，只需直接算出对应的数字特征即可．
(2)对于分层抽样的情况，我们以分两层抽样的情况为例．假设第一层有m个数，分别为x1，x2，…，xm，平均数为eq\x\to(x)，方差为s2；第二层有n个数，分别为y1，y2，…，yn，平均数为eq\x\to(y)，方差为t2.则eq\x\to(x)＝eq\f(1,m)eq\i\su(i＝1,m,x)i，s2＝eq\f(1,m)eq\i\su(i＝1,m,)(xi－eq\x\to(x))2，eq\x\to(y)＝eq\f(1,n)eq\i\su(i＝1,n,y)i，t2＝eq\f(1,n)eq\i\su(i＝1,n,)(yi－eq\x\to(y))2.
如果记样本均值为eq\x\to(a)，样本方差为b2，则可以算出
eq\x\to(a)＝eq\f(1,m＋n)(eq\i\su(i＝1,m,x)i＋eq\i\su(i＝1,n,y)i)＝eq\f(m\x\to(x)＋n\x\to(y),m＋n)，
b2＝eq\f(m[s2＋?\x\to(x)－\x\to(a)?2]＋n[t2＋?\x\to(y)－\x\to(a)?2],m＋n)
＝eq\f(1,m＋n)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(?ms2＋nt2?＋\f(mn,m＋n)?\x\to(x)－\x\to(y)?2)).
常用结论
1．若x1，x2，…，xn的平均数为eq\x\to(x)，那么mx1＋a，mx2＋a，…，mxn＋a的平均数为meq\x\to(x)＋a.
2．数据x1，x2，…，xn与数据x1′＝x1＋a，x2′＝x2＋a，…，xn′＝xn＋a的方差相等，即数据经过平移后方差不变．
3．若x1，x2，…，xn的方差为s2，那么ax1＋b，ax2＋b，…，axn＋b的方差为a2s2.
自主诊断
1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”)
(1)对一组数据来说，平均数和中位数总是非常接近．()
(2)方差与标准差具有相同的单位．()
(3)如果一组数中每个数减去同一个非零常数，则这组数的平均数改变，方差不变．()
(4)在频率分布直方图中，可以用最高的小长方形底边中点的横坐标作为众数的估计值．()
2．在下列统计量中，用来描述一组数据离散程度的量是()
A．平均数 B．众数
C．百分位数 D．标准差
3．甲、乙、丙、丁四人参加射击项目选拔赛，成绩如下，则他们中参加奥运会的最佳人选是______．
甲
乙
丙
丁
平均环数
8.5
8.8
8.8
8
方差
3.5
3.5
2.1
8.7
4.有一组数据：－1，a，－2,3,4,2，它们的中位数是1，则这组数据的平均数是________.
题型一样本的数字特征的估计
例1(1)(多选)(2023·荆门联考)某单位为了解该单位党员开展学习党史知识活动情况，随机抽取了30名党员，对他们一周的党史学习时间进行了统计，统计数据如下．则下列对该单位党员一周学习党史时间的叙述，正确的有()
党史学习时间(小时)
7
8
9
10
11
党员人数
4
8
7
6
5
A.众数是8 B．40%分位数为8
C．平均数是9 D．中位数是9
(2)(多选)