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§5.9三维波动方程相对运动观测者协变变换

1.引言

波动方程是描述光波传播的基本方程之一。波动方程的形式不

仅与光源运动状态无关，也与观测者的运动状态无关。无论观测者运

动是否，其看到光波的传播规律都是具有同一形式的波动方程，这意

味存在有一种协变变换式能使波动方程相对观测者运动具有协变性。

本文将通过数学推导和物理分析，探讨波动方程在相对运动中的协

变性，并研究观测者运动对光波传播方向的影响。

2观测者在静止和运动两种情形辐射光波的波函数

根据麦克斯韦场方程，静止于点处的观测者，见图5.6（a）

M

所示，看到静止于点处光源辐射光波的波函数

P

???coskkrct

0??0????(5.1)

??

krrk

式中，?/r；是观测点到光源的距离；是波前传播方向单位矢

00

量；c是静止光源辐射光波的波前传播速度。

v

PN?

如果静止光源在点发光瞬间，观测者是以速度运动到点，

PN?N?

见图5.6（b）所示，当波前从点传播到点时观测者从点运动

，

n0

N＇

k0vγtk0

r?ctMcγtr＇M＇

PP

(a)(b)

图5.6源静止观测者运动情形时波矢间关系

到点，此时光源到观测者的矢距?

M

?????(5.2)

rMPNP?MN

?

，

NM?

运动观测者用其携带的时钟测得从点运动点时间若是考虑动

t

N?M?

钟的延缓效应，静钟测得观测者从点运动点时间则是