§8.6双曲线
课标要求1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程.2.掌握双曲线的几何性质(范围、对称性、顶点、渐近线、离心率).3.了解双曲线的简单应用．
知识梳理
1．双曲线的定义
一般地，如果F1，F2是平面内的两个定点，a是一个正常数，且2a|F1F2|，则平面上满足||PF1|－|PF2||＝2a的动点P的轨迹称为双曲线，其中，两个定点F1，F2称为双曲线的焦点，两个焦点的距离|F1F2|称为双曲线的焦距．
注意：(1)若将“|F1F2|”改为“＝|F1F2|”，其余条件不变，此时动点的轨迹是以F1，F2为端点的两条射线(包括端点)；若将其改为“|F1F2|”，其余条件不变，此时动点轨迹不存在．
(2)若将绝对值去掉，其余条件不变，则动点的轨迹是双曲线的一支．
(3)若a＝0，则此时动点的轨迹是线段F1F2的垂直平分线．
2．双曲线的标准方程和简单几何性质
标准方程
eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a0，b0)
eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a0，b0)
图形
性质
焦点
F1(－c,0)，F2(c,0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
焦距
|F1F2|＝2c
范围
x≤－a或x≥a，y∈R
y≤－a或y≥a，x∈R
对称性
对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点
A1(－a,0)，A2(a,0)
A1(0，－a)，A2(0，a)
轴
实轴：线段A1A2，长：2a；虚轴：线段B1B2，长：2b，半实轴长：a，半虚轴长：b
渐近线
y＝±eq\f(b,a)x
y＝±eq\f(a,b)x
离心率
e＝eq\f(c,a)∈(1，＋∞)
a，b，c的关系
c2＝a2＋b2(ca0，cb0)
常用结论
1．双曲线的焦点到其渐近线的距离为b.
2．若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|min＝a＋c，|PF2|min＝c－a.
3．同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于实轴的弦)，其长为eq\f(2b2,a).
4．与双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a0，b0)有共同渐近线的双曲线方程可表示为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝t(t≠0)．
自主诊断
1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”)
(1)平面内到点F1(0,4)，F2(0，－4)的距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线．(×)
(2)方程eq\f(x2,m)－eq\f(y2,n)＝1(mn0)表示焦点在x轴上的双曲线．(×)
(3)双曲线eq\f(x2,m2)－eq\f(y2,n2)＝1(m0，n0)的渐近线方程是eq\f(x,m)±eq\f(y,n)＝0.(√)
(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于eq\r(2).(√)
2．已知曲线C的方程为eq\f(x2,k＋1)＋eq\f(y2,5－k)＝1(k∈R)，若曲线C是焦点在y轴上的双曲线，则实数k的取值范围是()
A．－1k5 B．k5
C．k－1 D．k≠－1或5
答案C
解析若曲线C是焦点在y轴上的双曲线，
则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k＋10，,5－k0，))解得k－1.
3．双曲线9y2－16x2＝144的渐近线方程是________．
答案y＝±eq\f(4,3)x
解析依题意知，双曲线eq\f(y2,16)－eq\f(x2,9)＝1的焦点在y轴上，半实轴长a＝4，半虚轴长b＝3，
所以双曲线9y2－16x2＝144的渐近线方程是y＝±eq\f(4,3)x.
4．设P是双曲线eq\f(x2,16)－eq\f(y2,20)＝1上一点，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，若|PF1|＝9，则|PF2|＝________.
答案17
解析根据双曲线的定义得||PF1|－|PF2||＝8，
因为|PF1|＝9，所以|PF2|＝1或17.
又|PF2|≥c－a＝2，故|PF2|＝17.
题型一双曲线的定义
例1(1)(多选)(2024·邵阳模拟)已知点P为定圆O上的动点，点A为圆O所在平面上异于点O的定点，线段AP的垂直平分线交直线OP于点Q，则点Q的轨迹可能是()
A．一个点 B．直线
C．椭圆 D．双曲线
答案ACD
解析分以下几种情况讨论：设定圆O的半径为R，
①当点A在圆O上，连接OA(图略)，则|OA|＝|OP|，所以点O在线段AP的垂直平分线上，由垂直平分线的性质可知|AQ|＝|PQ|.
又因为点Q是线段AP的垂直平分线与OP的公共点，此时点Q与点O重合，
此时，点Q的轨迹为圆心O，故A正确；
②当点A在圆O