若级数(1)在D内处处收敛，其和为z的函数---级数(1)的和函数特殊情况，在级数(1)中称为幂级数*第31页，共46页，星期日，2025年，2月5日2.收敛定理同实变函数一样，复变幂级数也有所谓的收敛定理：定理1(阿贝尔(Able)定理）*第32页，共46页，星期日，2025年，2月5日证明*第33页，共46页，星期日，2025年，2月5日关于函数与复变函数*第1页，共46页，星期日，2025年，2月5日一、复数列的极限二、级数的概念第一节复数项级数三、典型例题四、小结与思考*第2页，共46页，星期日，2025年，2月5日一、复数列的极限1.定义记作*第3页，共46页，星期日，2025年，2月5日2.复数列收敛的条件那末对于任意给定的就能找到一个正数N,证*第4页，共46页，星期日，2025年，2月5日从而有所以同理反之,如果*第5页，共46页，星期日，2025年，2月5日从而有定理一说明:可将复数列的敛散性转化为判别两个实数列的敛散性.[证毕]*第6页，共46页，星期日，2025年，2月5日课堂练习:下列数列是否收敛?如果收敛,求出其极限.*第7页，共46页，星期日，2025年，2月5日二、级数的概念1.定义表达式称为复数项无穷级数.其最前面n项的和称为级数的部分和.部分和*第8页，共46页，星期日，2025年，2月5日收敛与发散说明:与实数项级数相同,判别复数项级数敛散性的基本方法是:*第9页，共46页，星期日，2025年，2月5日*第10页，共46页，星期日，2025年，2月5日2.复数项级数收敛的条件证因为定理二*第11页，共46页，星期日，2025年，2月5日说明复数项级数的审敛问题实数项级数的审敛问题(定理二)*第12页，共46页，星期日，2025年，2月5日解所以原级数发散.课堂练习*第13页，共46页，星期日，2025年，2月5日必要条件重要结论:*第14页，共46页，星期日，2025年，2月5日不满足必要条件,所以原级数发散.启示:判别级数的敛散性时,可先考察?级数发散;应进一步判断.*第15页，共46页，星期日，2025年，2月5日3.绝对收敛与条件收敛注意应用正项级数的审敛法则判定.定理三*第16页，共46页，星期日，2025年，2月5日证由于而根据实数项级数的比较准则,知*第17页，共46页，星期日，2025年，2月5日由定理二可得[证毕]*第18页，共46页，星期日，2025年，2月5日非绝对收敛的收敛级数称为条件收敛级数.说明如果收敛,那末称级数为绝对收敛.定义*第19页，共46页，星期日，2025年，2月5日所以综上:*第20页，共46页，星期日，2025年，2月5日下列数列是否收敛,如果收敛,求出其极限.而解三、典型例题例1*第21页，共46页，星期日，2025年，2月5日解所以数列发散.*第22页，共46页，星期日，2025年，2月5日例3故原级数收敛,且为绝对收敛.因为所以由正项级数的比值判别法知:解*第23页，共46页，星期日，2025年，2月5日故原级数收敛.所以原级数非绝对收敛.例4解*第24页，共46页，星期日，2025年，2月5日*第25页，共46页，星期日，2025年，2月5日四、小结与思考通过本课的学习,应了解复数列的极限概念;熟悉复数列收敛及复数项级数收敛与绝对收敛的充要条件;理解复数项级数收敛、发散、绝对收敛与条件收敛的概念与性质.*第26页，共46页，星期日，2025年，2月5日思考题*第27页，共46页，星期日，2025年，2月5日思考题答案否.放映结束，按Esc退出.*第28页，共46页，星期日，2025年，2月5日1.幂级数的概念2.收敛定理3.收敛圆与收敛半径4.收敛半径的求法5.幂级数的运算和性质§4.2幂级数*第29页，共46页，星期日，2025年，2月5日1.幂级数的概念定义设复变函数列：---称为复变函数项级数级数的最前面n项的和---级数的部分和*第30页，共46页，星期日，2025年，2月5日