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3.1.1空间向量的线性运算
一、教学目标：
1.运用类比方法，经历向量及其运算由平面向空间推广的过程；
2.了解空间向量的概念；
3.掌握空间向量的线性运算及其性质。
二、教学重点：
空间向量的概念、空间向量的线性运算及其性质。
三、教学过程：
（一）问题情境
由于实际问题的需要,在必修4中，我们学习了平面向量，研究了平面向量的概念、运算及其性质，进而解决了平面上有关点，线的位置关系及度量问题。
但向量未必都在同一平面内，如下问题；
已知物体受三个大小都为1000N的力F1，F2，F3，且这三个力两两之间的夹角都为60°，则物体所受的合力为多少？
是否为eq\o(F1,\d\fo1()\s\up7(→))+eq\o(F2,\d\fo1()\s\up7(→))+eq\o(F3,\d\fo1()\s\up7(→))？
F
F1
F2
F3
此问题中，三个向量不在同一平面内，问题不好直接用平面向量来解决，为此需要将向量由平面向空间推广！
（二）数学理论
1.平面向量与空间向量的有关概念
(1)在平面上，我们把既有大小又有方向的量叫做平面向量。
平面上的向量一般用有向线段表示，同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。
长度为0的向量叫零向量，记作0，0的方向是任意的；
长度为1个单位长度的向量，叫单位向量；
方向相反但模相等的向量叫做相反向量；向量a的相反向量记作－a．
方向相同或相反的非零向量叫做平行向量(共线向量)，规定0与任一向量平行；
记作：a∥b，0∥a．
由向量的实际背景，平面向量的有关概念都可以移植到空间中。
(2)空间向量的有关概念：
在空间，我们把既有大小又有方向的量叫做空间向量。
空间向量一般用有向线段表示。同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。
在空间中：
长度为0的向量叫零向量，记作0，0的方向是任意的；
长度为1个单位长度的向量，叫单位向量；
方向相反但模相等的向量叫做相反向量;向量a的相反向量记作－a．
方向相同或相反的非零向量叫做平行向量(共线向量)，规定0与任一向量平行；
记作：a∥b，0∥a．
2.平面向量与空间向量的线性运算
我们现在研究的是自由向量，大小相等方向相同的向量是相等向量，而与它们的起点无关。
所以任意两个空间向量都可以平移到同一平面内。
因此，空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示。
这样，空间两个向量的线性运算的意义与平面向量完全一样。
已知空间向量a，b，在空间任取一点O，作eq\o(OA,\d\fo1()\s\up7(→))＝a，eq\o(AB,\d\fo1()\s\up7(→))＝b.由O，A，B三点确定一个平面或共线可得，空间任意两个向量都可以用同一平面内的两个有向线段来表示.
ba
b
a
B
B
A
O
α
空间向量的加法、减法与数乘运算的意义如下（如图）
OB
O
B
b
a
C
A
a＋b
a
b
a
b
O
A
B
a＋b
a
a
A
O
b
B
a－b
a
a
λa
O
P
eq\o(OB,\d\fo1()\s\up7(→))＝eq\o(OA,\d\fo1()\s\up7(→))＋eq\o(AB,\d\fo1()\s\up7(→))＝a＋b（三角形法则）
eq\o(OC,\d\fo1()\s\up7(→))＝eq\o(OA,\d\fo1()\s\up7(→))＋eq\o(OB,\d\fo1()\s\up7(→))＝a＋b（平行四边形法则）
eq\o(BA,\d\fo1()\s\up7(→))＝eq\o(OA,\d\fo1()\s\up7(→))－eq\o(OB,\d\fo1()\s\up7(→))＝a－b
eq\o(OP,\d\fo1()\s\up7(→))＝λa(λ∈R)
平面向量的线性运算满足下列运算律
3.运算律：
(1)加法交换律：a＋b＝b＋a
(2)加法结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
(3)数乘分配律：λ(a＋b)＝λa＋λb(λ∈R)
那么，空间向量的运算是否仍满足上述规律？
(1)、(3)中只涉及两个向量，显然满足，但(2)中涉及三个向量，在空间中是否成立？
这一规律关系到空间中三个向量和的定义问题？
结合律的验证：
O
O
A
B
C
a
b
c
a＋b
a＋b＋c
b＋c
三个向量中有共线向量时规律显然成立。
平面向量共线的充要条件在空间也是成立的。
A1B1C1BCAM例1.如图，在三棱柱ABC-A1
A1
B1
C1
B
C
A
M
化简下列各式，并在图中标出化简得到的向量：
(1)eq\o(CB,\d\fo1()\s\up7(→))＋eq\o(BA1,\d\fo1()\s\up7(→));
(2)eq\o(AC,\d\fo1