集合势和基数的教学设计与实践
（北京理工大学信息与电子学院，北京100081）
集合的势与基数是关于集合非常重要的概念，在数学专业课程代数、分析、拓扑中都有一定程度的介绍［1］。在抽象的数学中，研究的对象都是从集合的概念出发进行描述的。集合分为有限集和无限集，对于有限集而言，很多性质是人们所熟知、容易想象的，无限集则具有很多与人们直观感觉相悖的性质。无限集和有限集是从集合的容量上对集合进行区分，而集合的势与基数就是在集合容量上对集合进行描述刻画，其重要性不言而喻。
集合的势与基数是传统数学专业学生必备的知识，属于集合论的内容。鉴于集合论在数学领域的基础性［2-3］，以及集合论对于培养学生数学修养的重要性［4］，笔者面向全校开设了“集合论”公选课程，授课对象主要为信息与电子学院、机械与车辆学院、宇航学院、自动化学院、计算机学院等工科专业的学生。如何使工科专业学生夯实集合论数学基础、提高数学素质是笔者长期思考的问题。张景中院士认为，为成功地进行数学教育改革，要根据教育规律，对教材施以数学上的再创造［5-6］。在“集合论”课程中，集合的势与基数是最后一个部分，也是学生普遍反映较难的一个部分。为了便于学生理解和掌握这部分内容，笔者对课堂教学进行了相关的教学设计，具体实施过程如下。
首先，引入集合等势的概念：对于集合A和集合B，如果存在一个从集合A到集合B的双射，则称集合A与集合B是等势的，记为A≈B。在引入等势这个概念之后，笔者首先以有限集为例进行说明。比如，三把椅子的集合与三张桌子的集合是等势的，可以使得一把椅子对应一张桌子；再比如，规定教室里每个学生只能坐一个座位，如果没有座位空着，也没有学生站着，那么教室里的学生之集合与教室里的座位之集合是等势的，这说明教室里的学生数与教室里的座位数一样多。在这里任课教师需要强调，相对于第一个例子中等势的集合的元素数目3是给出的，第二个例子中并没有给出等势的集合的元素数目。集合之间的等势是两个集合本身在集合容量上的比较，并非一定要引入其他的集合来完成这种比较。
有了前面关于有限集之间的等势的铺垫，就可以引入无限集的集合等势的例子了。比如，自然数集与偶数集之间是等势的。这里，教师提示学生偶数集是自然数集的真子集，并说明从这个角度上看，“整体并不总是大于部分的”；然后让学生找出其他的一些集合与其真子集等势的例子。此时，一些学生会试着找出等势的集合例子，教师在课堂上对学生给出的一些例子进行分析、判断；再提示学生这些能与自身的真子集等势的集合都具有何种特点，此时，通过再审视这些例子，个别学生会发现上述例子中所涉及的都是无限集。教师在课堂上讲解，目前还没有给出有限集和无限集的严格数学定义，并且，不同的无限集之间还可能在集合容量上存在不同，关于这些问题，目前暂时放下。
接着，说明集合的等势具有如下符合直观的性质：A≈A；如果A≈B，则有B≈A；如果A≈B，并且B≈C，则有A≈C。这些性质说明集合间的等势具有反身性、对称性、传递性。通过这些等势性质的介绍，也回顾了映射复合的概念。下面是一个两个无限集之间一定不等势的重要例子：N?R。在证明这个命题之前，授课教师可以先证明R≈（0,1），然后利用前面已说明的集合等势的传递性，只需要再证明N?（0,1）即可。在该命题的具体证明中，采用了十进制无限小数的唯一表示方法，假设（0,1）与自然数集等势，那么（0,1）之间的所有元素就可以排成一个数列，接着采用了对角线方法去构造一个形式上在（0,1）之间但是并不在已排成数列之内的某个小数，以构成假设上的矛盾。通过这个例子，可以向学生展示集合论创始人Cantor所使用的对角线方法，更为重要的是，作为经常使用的数集的例子，自然数集和实数集虽然都是直观上的无限集，然而两个数集之间一定是不会等势的，这说明无限集之间并不总是等势的。此刻，授课教师需要在课堂上向学生强调，事实上，如果各个无限集之间都是等势的话，那么等势这个概念的建立就没有太多意义了，也正是各个无限集之间并不总是等势的，无限集与无限集之间就可以加以区分，呈现出层次万千的“无限世界”。
集合的等势是建立集合之间在容量上的相等，而集合容量之间的比较，除了相等的概念之外，还有大小之分，前面的自然数集和实数集之间的不等势需要进一步细化它们之间的大小关系。从而自然地引入了集合之间的优势关系：对于集合A和集合B，如果存在一个从集合A到集合B的单射，那么称集合B优势于集合A，或者等价地，集合A劣势于集合B，记为A≤B。此时，任课教师需要向学生强调：首先，如果集合A到集合B之间存在一个单射，那么说明集合A到集合B的子集之间一定存在一个双射，这仅需要取这个单射的值域即可，这就说明了集合A劣势于集合B，等价于集合A与集合B的一个子集等势；其次，在等势的定义中，采用了双射进行集合之间等势的