指数函数、对数函数、幂函数得图像与性质
（一)指数与指数函数
1、根式
(１)根式得概念
根式得概念
符号表示
备注
如果，那么叫做得次方根
当为奇数时,正数得次方根就就是一个正数，负数得次方根就就是一个负数
零得次方根就就是零
当为偶数时,正数得次方根有两个,她们互为相反数
负数没有偶次方根
ｎ为奇数ｎ为偶数(２
ｎ为奇数
ｎ为偶数
①；
②(注意必须使有意义）。
2、有理数指数幂
（1）幂得有关概念
①正数得正分数指数幂:;
②正数得负分数指数幂:
③0得正分数指数幂等于0,0得负分数指数幂没有意义、
注:分数指数幂与根式可以互化,通常利用分数指数幂进行根式得运算。
(2)有理数指数幂得性质
①aras＝ａr＋s(a0,r、s∈Q);
②（ar)s=ａrs(a0,ｒ、ｓ∈Q)；
③（ab)r=arbｓ(a＞０,b0，r∈Q);、
3、指数函数得图象与性质
y＝aｘ
a1
0ａ1
图象
定义域
Ｒ
值域
(０,+)
性质
(1)过定点(０,1）
(2)当x0时，y1;
x０时,０ｙ＜1
(2)当x＞0时,0y１;
x0时,y＞１
(3)在(-,+）上就就是增函数
(3)在（－,+)上就就是减函数
注：如图所示,就就是指数函数（1)y=aｘ,(2)y=ｂｘ,(3),y=cｘ(4）,ｙ=ｄｘ得图象,如何确定底数a,ｂ，ｃ,d与１之间得大小关系？
提示：在图中作直线x=1，与她们图象交点得纵坐标即为她们各自底数得值,即c1ｄ11a1ｂ1，∴cｄ＞1ａb。即无论在轴得左侧还就就是右侧，底数按逆时针方向变大。
(二)对数与对数函数
1、对数得概念
(1)对数得定义
如果，那么数叫做以为底,得对数,记作，其中叫做对数得底数,叫做真数。
(2)几种常见对数
对数形式
特点
记法
一般对数
底数为
常用对数
底数为10
自然对数
底数为e
2、对数得性质与运算法则
(1）对数得性质():①，②,③,④。
(2)对数得重要公式:
①换底公式：；
②。
（3）对数得运算法则:
如果，那么
①;
②；
③;
④。
3、对数函数得图象与性质
图象
性质
(1)定义域:(０,+)
(2）值域:R
(3)当ｘ=１时,y=0即过定点(1,0)
（4)当时,；
当时,
(4)当时，;
当时,
(5）在(0，＋)上为增函数
(5)在（0，+)上为减函数
注:确定图中各函数得底数a,b,c,d与1得大小关系
提示：作一直线y＝１,该直线与四个函数图象交点得横坐标即为她们相应得底数。
∴0ｃd1a＜b、
4、反函数
指数函数ｙ=ax与对数函数y＝ｌoｇaｘ互为反函数，她们得图象关于直线y=ｘ对称。
(三）幂函数
1、幂函数得定义
形如y=xα(a∈Ｒ）得函数称为幂函数,其中ｘ就就是自变量,α为常数
注:幂函数与指数函数有本质区别在于自变量得位置不同,幂函数得自变量在底数位置，而指数函数得自变量在指数位置。
2、幂函数得图象
注:在上图第一象限中如何确定y=ｘ3,y=ｘ2,y=x，,y=x-１方法:可画出ｘ＝x0;
当ｘ01时,按交点得高低,从高到低依次为y=x3,y=x２,ｙ=x，,ｙ＝x-1；
当０＜ｘ0１时,按交点得高低,从高到低依次为y＝x－1，，y=x,y=x2,ｙ=ｘ3。
3、幂函数得性质
y＝x
ｙ=x2
ｙ=x3
y=ｘ-1
定义域
R
R
R
［0,)
值域
R
[0,)
R
［０,)
奇偶性
奇
偶
奇
非奇非偶
奇
单调性
增
x∈[0,)时,增;
ｘ∈时,减
增
增
x∈(０,＋）时，减;
x∈（-,0)时,减
定点
(1,1)
三：例题诠释,举一反三
知识点１：指数幂得化简与求值
例1、(2007育才A)
(1)计算:；
（2)化简:
变式:(2００7执信A)化简下列各式（其中各字母均为正数）:
(1）
(２）
(３)
知识点2:指数函数得图象及应用
例2、(2009广附A)已知实数a、b满足等式,下列五个关系式：①0ｂａ；②aｂ＜０;③0＜ab;④b＜ａ＜0；⑤ａ=ｂ、其中不可能成立得关系式有（）
A、1个Ｂ、2个Ｃ、3个D、4个
变式：(２0１0华附A)若直线与函数且得图象有两个公共点,则a得取值范围就就是_____＿_、
知识点3:指数函数得性质
例3、(2010省实Ｂ)已知定义域为得函数就就是奇函数。
(Ⅰ）求得值;
(Ⅱ)判断函数得单调性;
(Ⅲ)若对任意得,不等式恒成立，求得取值范围、
变式:（2010东莞Ｂ)设a＞0，f（ｘ）=就就是R上得偶函数、
(１）求a得值;
(2)求证:ｆ（x）在（0,+∞)上就就是增函数、
知识点4:对数式得化简与求值
例4