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2024学年第二学期浙南名校联盟期中联考
高一年级数学学科试题
考生须知：
1．本卷共4页满分150分，考试时间120分钟．
2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字．
3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效．
4．考试结束后，只需上交答题纸．
选择题部分
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．
1.值
A. B. C. D.
2.的值为（）
A B.1 C. D.
3.若圆台的轴截面为底角为60°的等腰梯形，且圆台的上底面半径为1，下底面半径为6，则圆台的侧面积为（）
A. B. C. D.
4.已知，m为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列说法正确的是（）
A.若，，则m至少与，中一个平行
B.若，，则
C.若，，则
D.若，，，则
5.若，则的值为（）
A. B. C. D.
6.已知在平行四边形中，，，且，，则的值为（）
A.-3 B.-6 C.-9 D.-12
7.在中，，的角平分线交于点D，的面积是面积的4倍，则的值为（）
A. B. C. D.
8.水平桌面上放置了4个完全相同的半径为1的小球（不叠起），四个小球的球心构成正方形，且相邻的两个小球相切．用一个半球形容器（容器壁厚度不计）罩住这四个小球，则这个半球形容器表面积（不包含底面圆）的最小值为（）
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9.已知，，，，则下列叙述中正确的是（）
A.若，则 B.若，则
C. D.若，则
10.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的有（）
A.若为锐角三角形，则
B.若，，有两解，则
C.若，则是的垂心
D.若，，为的外心，则的值为
11.已知复数，（，为虚数单位），，定义：，，则下列说法正确的有（）
A.若是复数的共轭复数，则恒成立
B.对任意，都有恒成立
C.存在，有成立
D.对任意，都有恒成立
非选择题部分
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12.设向量，，若与共线，则实数a值为_______．
13.甲船在B岛的南偏东方向A处，两地相距100千米．甲船向北偏西方向航行，同时乙船自B岛出发向北偏东的方向航行，两船均以每小时30千米的速度航行．则两小时后，甲、乙两船的距离为_______千米．
14.如图1，“折扇”又名“纸扇”，是一种用竹木或象牙做扇骨，韧纸或者绫绢做扇面的能折叠的扇子，其平面图是如图2的扇形，其中，，点E在弧上运动（包括端点），记在方向上的投影向量为，则的取值范围是________．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15.已知复数，，其中为虚数单位．
（1）若是纯虚数，求实数的值；
（2）若，设，，求的值．
16.已知向量与的夹角为，且，，若，．
（1）当时，求实数值；
（2）当取最小值时，求向量与夹角的大小．
17.如图，在四棱锥中，，M，N分别是，的中点，，．
（1）求证平面；
（2）若平面，求的值；
（3）当时，若，，，请在图中作出四棱锥过点B，E，F的截面（保留作图痕迹），并求出截面周长．
18.已知a，b，c分别为斜三个内角A，B，C的对边，且满足.
（1）求角A的值；
（2）记边上的高为h，
（i）若，求的值；
（ii）求的取值范围.
19.对集合A，若存在实数k，使得对于，，则称集合A有下界k，实数k的最大值为函数的下确界，记作．
（1）记函数，值域为B，求；
（2）已知函数
（i）记集合，若，求实数α的取值范围；
（ii）记集合，，若，求实数a的值．