寿昌中学高一数学测试卷
姓名：__________班级：__________
一、单选题(共6小题，共42分)
1.中，，，，则（）
A.7 B.8 C.9 D.10
【答案】C
【解析】
【分析】先求出两个向量坐标，利用数量积坐标公式得到结果.
【详解】∵，，，
∴
∴
故选：C
【点睛】本题考查数量积坐标运算，考查计算能力，属于基础题.
2.已知为单位向量，其夹角为，则（）
A. B.0 C.1 D.2
【答案】B
【解析】
【分析】利用向量数量积的运算律可得答案.
【详解】因为为单位向量，其夹角为，所以，
所以.
故选：B.
3.已知为两个单位向量，那么下列四个命题中正确的是
A. B.若，则 C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据向量相等的条件，可知不满足方向一定相同，错误；中未考虑夹角的情况，错误；根据向量数量积运算的性质可知正确.
【详解】若，则，且方向相同
中，方向未规定；中，方向相同或相反，均不能得到，则错误；
中，，错误；
中，，，正确.
故选
【点睛】本题考查平面向量中的相关概念，涉及到单位向量的定义、向量相等的要求、向量平行、平面向量数量积运算等知识，属于基础题.
4.在平面四边形中，满足，则四边形是
A.矩形 B.正方形
C.菱形 D.梯形
【答案】C
【解析】
【分析】由知四边形是平行四边形，由知道对角线互相垂直，即可选出答案。
【详解】因为，所以，所以四边形是平行四边形，又，所以四边形的对角线互相垂直，所以四边形是菱形.
【点睛】本题考查向量与向量之间的关系，属于基础题
5.在△ABC中，，，则＝（）
A.2 B.1 C.3 D.4
【答案】B
【解析】
【分析】利用正弦定理得到，进而求出，故可求答案.
【详解】因为，所以，因为，所以；
因为，所以，所以，即有，所以.
故选：B
6.某观察站与两灯塔，的距离分别为和，测得灯塔在观察站的北偏东，灯塔在观察站的正西方向，则两灯塔，间的距离为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】由题意，△ABC中，AC=300米，BC=500米，∠ACB=120°
利用余弦定理可得：AB2=3002+5002﹣2×300×500×cos120°
∴AB=700米
故选：C
二、填空题(共4小题，共28分)
7.在复平面内，复数的虚部为__________，其共轭复数对应的点位于第__________象限
【答案】①.②.一
【解析】
【分析】根据虚部的概念和共轭复数的概念可得答案.
【详解】由题意复数虚部为，其共轭复数为，对应的点坐标为，位于第一象限.
故答案为：；一.
8.在△ABC中，已知,则此三角形的解有________个
【答案】0
【解析】
【分析】利用正弦定理即角的范围可得答案.
【详解】因为，所以，
所以此三角形无解.
故答案为：0
9.在△中，若，则的值为____．
【答案】
【解析】
【分析】
先根据正弦定理得到三角形边关系，再由余弦定理算出的余弦值即可．
【详解】解：
根据正弦定理可得：，不妨设，，
由余弦定理可得：．
故答案：．
【点睛】本题主要考查正余弦定理的应用．在解题时经常用正弦定理将角的关系转化到边的关系，再由余弦定理解题，属于基础题．
10.在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若b＝acosCc，则角A为_____．
【答案】60°##
【解析】
【分析】由b＝acosCc，利用正弦定理结合两角和的正弦公式化简得到sinCcosAsinC求解.
【详解】∵b＝acosCc．
∴由正弦定理可得：sinB＝sinAcosCsinC，
即sinAcosC+sinCcosA＝sinAcosCsinC，
即sinCcosAsinC，
∵sinC≠0，
∴cosA，
∵A∈（0°，180°），
∴A＝60°．
故答案为：60°
三、解答题(共3小题，共30分)
11.设，已知复数，分别求下列条件下的的值
（1）为实数
（2）为纯虚数
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据虚部为零可求答案；
（2）根据实部为零，虚部不为零可求答案.
【小问1详解】
因为为实数，所以，即.
【小问2详解】
因为为纯虚数，所以，解得.
12.在中，角所对的边分别为，若.
（1）求C的大小；
（2）若，且的面积为，求.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由已知及正弦定理可得：，化简可得，从而可求得的值；
（2）由及的面积为可求得，从而由余弦定理可解得的值.
【小问1详解】
因为
所以
∴
又为三角形内角，
∴，
∴.
∵，∴.
∴，∴.
【小问2详解】