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内江六中2024—2025学年下学期高2027届期中考试
数学试题
考试时间：120分钟满分：150分
一、单选题：（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1.已知复数，则（）
A.1 B. C. D.2
【答案】B
【解析】
【分析】利用复数模的计算公式即可得到结果.
【详解】，
.
故选：B.
2.若，则（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用两角差的正切公式可求得的值.
【详解】因为，则.
故选：B.
3.在中，角所对的边分别是，已知，则的形状为（）
A.等腰三角形 B.等边三角形
C.锐角三角形 D.钝角三角形
【答案】A
【解析】
【分析】由余弦定理代入整理得，进而得答案.
【详解】解:由余弦定理,
故代入边角互化得:,整理得:
所以,故三角形为等腰三角形.
故选：A
【点睛】本题考查利用边角互化判断三角形形状，考查化归转化思想，是基础题.解题的关键在于边角互化.
4.已知，向量，且，则（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用二倍角公式结合向量平行求解即可.
【详解】法1：根据题意得，则有，变形可得，解得或．又，则必有．故选：C．
法2：选项验证法！
观察选项，当时，，不符合题意；
当时，，，不符合题意；
当时，，符合题意；
当时，，不符合题意．
故选:C．
5.已知函数的部分图象如图所示，下列说法不正确的是（）
A.， B.函数图象关于直线对称
C.函数的图象关于对称 D.函数在上单调递增
【答案】B
【解析】
【分析】由图象求出的解析式，再利用正弦函数性质逐一分析判断各选项即可得解.
【详解】对于A，由题意，，则，
则，
又在上，则，即，
所以，则，
又，所以，所以，即，，故A正确；
对于B，因为，
所以不是图象的对称轴，故B错误；
对于C，因为，
所以的图象关于点对称，故C正确；
对于D，当时，，
所以在上单调递增，故D正确.
故选：B.
6.沪苏通长江公铁大桥（如图1）是中国自主设计建造、世界上首座跨度超千米的公铁两用斜拉桥．已知主塔垂直于桥面，一辆小汽车在行驶过程中，车内乘客两次仰望塔顶的仰角分别为，（如图2），设乘客眼睛离地面的距离为，．若，，在同一水平高度，且，，在同一竖直平面内，则根据以上数据可计算主塔高为（）．
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据给定条件，利用直角三角形边角关系建立方程，再求解即得.
【详解】在中，，则，
在中，，，
解得，所以主塔.
故选：A
7.若，则（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用两角差的正弦公式，结合辅助角公式求出，可得，再根据二倍角的正切公式求解即可.
【详解】，
，，
，其中，，，，
，，
，
，
，．
故选：A．
8.平面内，定点，，，满足，且，动点，满足，，则的最大值为（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意，结合平面向量的线性运算与垂直的性质可得是正三角形，且是的中心，再以为坐标原点建立直角坐标系，再根据，结合三角函数设点的坐标，进而表达出，结合三角函数的最值求解即可.
【详解】由题，则到，，三点的距离相等，所以是的外心.
又，
变形可得，
所以，同理可得，，
所以是的垂心，
所以的外心与垂心重合，
所以是正三角形，且是的中心；
由，解得，
所以的边长为；
如图所示，以为坐标原点建立直角坐标系，
则，，，，
可设，其中，，而，
即是的中点，则，
，
当时，取得最大值为．
故选：D．
二、多选题：（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．）
9.中，根据下列条件解三角形，其中有一解的是（）
A.，， B.，，
C.，， D.，，
【答案】ABD
【解析】
【分析】
选项A，根据已知得到，再根据正弦定理即可得到三角形只有一解，故符合题意.选项，根据正弦定理得到，因为，所以只有一解.选项C，根据正弦定理得到，无解，不符合题意.选项D，根据正弦定理得到，，符合题意.
【详解】选项A，，，，又，
由正弦定理得：，只有一种情况，
此时三角形只有一解，故A符合题意.
选项B，，，，
由正弦定理：得：，
又，，只有一解，故B符合题意.
选项，，，，
由正弦定理得：，
无解，不符合题意.
选项D，，，；
由正弦定理：得，
此时三角形只有一解，故D符合题意.
故选：.
【点睛】本题主要考