阆中中学校2025年春高2024级期中学习质量检测
数学试题
（满分：150分时间：120分钟）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、单选题（每小题5分，共40分）
1.为了得到函数的图象，只要把函数图象上所有的点（）
A.向左平移个单位长度 B.向右平移个单位长度
C.向左平移个单位长度 D.向右平移个单位长度
【答案】C
【解析】
【分析】根据三角函数图象变换法则即可求出．
【详解】因为，
所以把函数图象上的所有点向左平移个单位长度即可得到函数的图象．
故选：C.
2.已知，则（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据三角函数的诱导公式化简即可.
【详解】.
故选：C.
3.已知平面向量，若，则实数（）
A. B.1 C.或1 D.4
【答案】C
【解析】
【分析】利用向量的坐标运算求得的坐标，再根据，利用数量积运算求解即可.
【详解】因为，
所以，
因为，所以，
所以，整理得，解得或.
故选：C.
4.已知，设的夹角为，则在上的投影向量是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据给定条件，利用投影向量的定义求解.
【详解】由，的夹角为，得，
所以在上的投影向量是.
故选：B
5.在平行四边形中，是边靠近的三等分点，与交于点，设，则（）．
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题设及向量对应线段的位置关系得、，结合即可得.
【详解】由，，所以，
由题意，则，
由.
故选：A
6.在中，若，则（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用余弦定理代入计算即可.
【详解】由余弦定理可知，
又因为，所以可得.
故选：A
7.如图，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线，于不同的两点，若，，，则的最小值（）
A.2 B.8 C.9 D.18
【答案】C
【解析】
【分析】由向量加法及数乘的几何意义得，再由向量共线的结论有，最后应用“1”的代换及基本不等式求最小值.
【详解】由题意，，又共线，则，
且，所以，
当且仅当时取等号，即的最小值为9.
故选：C
8.已知，函数在上单调递增，且对任意，都有，则的取值范围为（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】将看成整体角，求出其范围，利用函数在上单调递增得不等式，求出，再根据缩小范围为；接着根据对任意，都有，结合正弦函数的图象得不等式，求得，由，缩小范围为，最后求交即得.
【详解】由，得，依题意，
，解得（*）.
又又，则，故由（*）得，时，即①.
由，得，因对任意，都有，
则，解得，
因为，故时，即②.
综合①，②，可得的取值范围为.
故选：A.
二、多选题（每个小题6分，共18分，全对得6分，部分选对得部分分，选错不得分）
9.已知平面向量，，，则下列说法正确的是（）
A.
B.若，，则的取值范围为
C.
D.若，，则
【答案】AB
【解析】
【分析】A考查数量积的定义.B考查向量绝对值不等式，.C，向量不满足交换律.D，向量不满足消去律.
【详解】A．，故A正确.
B．，故B正确.
C．是与共线，是与共线，故C错误.
D．因为，，且，
因为，
即在方向上的投影等于在方向上的投影，得不到，故D错误；
故选：AB.
10.已知函数，则下列说法正确的是（）
A.函数的最小正周期为
B.函数在区间上单调递增
C.函数的图象的对称轴方程为
D.函数图象可由函数的图象向右平移个单位长度得到
【答案】AC
【解析】
【分析】求出函数的周期可判断A；求出的单调增区间可判断B；求出函数的图象的对称轴方程可判断C；根据图象平移规律可判断D．
【详解】对于A，函数的周期为，故A正确；
对于B，由，得，
所以的单调增区间为，故B错误；
对于C，令，则，
所以函数的图象的对称轴方程，故C正确；
对于D，函数向右平移个单位长度得到
，故D错误．
故选：AC．
11.已知函数若关于的方程有四个实数根，，，（其中为实数，），则下列结论中正确的是（）
A.
B.
C
D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】将方程根的问题转化为函数交点的问题，结合函数图象求解参数范围判断A，利用函数的对称性判断B，利用对数函数的性质判断D，利用给定条件并结合基本不等式判断C即可.