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嘉祥教育集团2024－2025学年高二下学期质量监测试题
数学
注意事项：
1．在作答前，考生务必将自己的姓名、考号涂写在试卷和答题卡规定的地方．考试结束，监考人员只将答题卡收回，试卷请考生自己妥善保存．
2．选择题部分必须用2B铅笔填涂；非选择题部分必须使用0.5毫米黑色墨水签字笔书写，字体工整、笔迹清楚．
3．请按照题号在答题卡上各题目对应的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题均无效．
4．保持答题卡清洁，不得折叠、污染、破损等．
第Ⅰ卷（选择题共58分）
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.已知函数，则=（）
A.3 B.4 C.5 D.6
2.等差数列单调递增，且满足，则公差为（）
A.1 B.2 C.0或1 D.0或2
3.函数的图象在点处的切线方程为（）
A. B. C. D.
4.函数的图象大致为（）
A. B.
C. D.
5.若等比数列的前项和为，则“”是“单调递增”的（）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
6.函数在区间上的最小值、最大值分别为（）
A. B. C. D.
7.等比数列{an}满足a5=2，，则（）
A.22 B.20 C.12 D.10
8.对于函数，设是函数的导函数，把满足的值叫做函数的“自足点”.若函数的“自足点”分别记为，则的大小关系为（）
A. B. C. D.
二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．有2个正确答案的，每选对1个，得3分；有3个正确答案的，每选对1个，得2分；凡选错1个答案的，得0分．）
9.下列求导运算正确有（）
A. B.
C D.
10.已知数列的前n项和为，且，，则（）
A.为等比数列
B
C.当最小时，
D.存在数列中的三项成等差数列，其中m，k，p为正整数，且
11.已知函数及其导函数的定义域为，若为奇函数，，且对任意，则下列正确的有（）
A. B.
C. D.
第Ⅱ卷（非选择题共92分）
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12.函数的单调递增区间为____________．
13.若曲线存在过原点的切线，则实数的取值范围为__________．
14.若为关于x的方程的实数根，且．若，其中表示不超过x的最大整数．记数列的前n项和为，有恒成立，则实数?的取值范围为____________．
四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15.正项等比数列的前项和为，满足，．
（1）求通项公式；
（2）若为的前n项积，求的最大值（可以用指数式表示），并求出最大时的值．
16.已知函数，．
（1）讨论单调性；
（2）若函数有两个零点，求实数的取值范围．
17.数列满足，.
（1）求证：数列为等差数列；
（2）设，证明：数列的前n项和.
18.已知函数，．
（1）设，求函数的极值；
（2）若恒成立，求实数k的取值范围；
（3）若直线l与曲线分别相切于点，且．求证：．
19.欧拉函数在密码学中具有重要应用，尤其是在公玥密码体制如算法中扮演核心角色．欧拉函数的函数值等于所有不超过正整数n，且与n互素（互素：公约数只有1）的正整数的个数，例如：．
（1）直接写出的值；
（2）设，求数列的通项公式，并求数列的前n项和；
（3）设p，q为两个不相等素数，，证明：
①；②．