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江苏省无锡市第一中学2024-2025学年高一下学期4月期中数学（文科）试题
2025.4
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.已知的内角、、所对的边分别为、、，若，，，则（??）
A. B. C. D.
2.用斜二测画法画水平放置的边长为2的正三角形的直观图，所得图形的面积为（）
A. B. C. D.
3.已知、、是三条不重合的直线，、、是三个不重合的平面，则下列结论正确的是（??）
A.若，，则 B.若，，则
C.若，，，则 D.若，，则
4.在中，（）
A. B. C. D.
5.如图，长方体被一个平面截成两个几何体，其中，这两个几何体分别是（）
A三棱柱和四棱柱 B.三棱柱和五棱柱 C.三棱台和五棱台 D.三棱柱和六棱柱
6.已知的内角所对的边分别为，若，则的形状为（）
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.等腰三角形 D.等腰或直角三角形
7已知，，且，则（??）
A. B. C. D.或
8.龙光塔位于锡山山顶.它是无锡的地标，登塔可以俯瞰锡城，感受城市日新月异；它是无锡文风昌盛的象征，多年来屡次出现在文人墨客的笔下，见证了无锡的人杰地灵.有同学想测量塔顶距离地面的高度.选取与山脚在同一水平面的两个测量基点与.现测得，，，在和处测得的仰角为和，则塔顶距离地面高度必定可以表示为（??）
A. B.
C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9.已知向量，，则下列说法中正确的是（??）
A.当时，
B.当时，向量在向量上投影向量为
C.当与的夹角为锐角时，
D.与向量垂直的单位向量为
10.在中，角所对的边分别为，则下列说法中正确的是（??）
A.若，，，则符合条件的有两个
B.若，则等腰三角形
C.若，则是垂心
D.若，则是的重心
11.如图，在棱长为2的正方体中，点M，P分别为线段上的动点，则下列说法中正确的是（）
A.当为线段中点时，平面截正方体所得的截面为平行四边形
B.取得最小值
C.当四面体ABMD的顶点在一个体积为的球面上时，
D.对任意点，平面平面
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12.已知某圆台轴截面的周长为，母线与底面成角，圆台的高为，该圆台的体积为_________．
13.在中，角的平分线交于，则_____________．
14.若平面上的三个力作用于一点，且处于平衡状态．已知，与的夹角为，则与夹角的大小为_____________
四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16，17题15分，第18，19题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15.已知、是夹角为的两个单位向量，，．
（1）若、可以作为一组基底，求实数的取值范围；
（2）若、垂直，求实数的值．
16.如图，在正三棱柱中，为棱的中点，为棱中点，.
（1）证明：平面；
（2）证明：平面平面.
17.如图，正方形的边长为，是的中点，是边上靠近点的三等分点，与交于点.
（1）求的余弦值；
（2）设，求的值及点的坐标．
18.在①；②；③；三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答.
问题：已知的内角的对边分别为且满足______．
（1）求角的大小；
（2）若边上的中线长为，，求的面积.
（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）
19.如图，在三棱锥中，底面ABC，平面平面PBC.
（1）求证：；
（2）若是PB的中点，N，F分别在线段BC，AM上移动．
①求与平面所成角的正切值；
②若平面，求线段长度的最小值．