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2024-2025学年第二学期高一数学期中试卷
2025.4
一、单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分）
1.已知复数z满足，则（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】计算出，利用复数除法法则计算出.
【详解】，故，
.
故选：B
2.在中，若，则是（）
A. B.或 C.或 D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据给定条件，利用正弦定理求出角.
【详解】在中，由正弦定理得，
而，所以或．
故选：C
3.如图，在中，是边BC的中点，是AM上一点，且，则（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据向量的线性运算求解即可.
【详解】因为是上一点，可设，
由题意知
所以解得，所以，
故选：A.
4.一个圆台的上、下底面的半径分别为和，体积为，则它的表面积为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先利用圆台的体积公式求得高，再利用圆台的表面积公式即可得解.
【详解】依题意，设圆台的高为，则，解得，
所以圆台的母线长为，
则圆台的表面积为.
故选：B．
5.已知点，，．则在上的投影向量为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据向量的坐标公式，结合投影向量的定义进行求解即可.
【详解】因为，，．
所以，，
，
所以向量与的夹角为钝角，
因此量在上的投影向量与方向相反，
而，，
所以在上的投影向量为，
故选：C
6.若，表示两条直线，，，表示三个不重合的平面，下列命题正确的是（）
A.若，，，则
B若，，，则
C.若，，，则
D.若，，，则
【答案】D
【解析】
【分析】根据线线、线面、面面之间的位置关系逐项判断.
【详解】对于A，若，，，则，或与相交，故A错误；
对于B，若，，，则，或与为异面直线，故B错误；
对于C，若，，，则，或与相交，故C错误；
对于D，由可得，因为，所以，
又因为，根据线面平行的性质定理可得，故D正确.
故选：D.
7.在中，角A、B、C的对边分别为a，b、c，若，是的角平分线，点在上，，，则（）
A. B. C. D.4
【答案】A
【解析】
【分析】由正弦定理可得，可得，由已知利用角平分线的性质可得，由余弦定理，角平分线的性质可得，进而解得的值，进而根据余弦定理可得的值．
【详解】因为，
所以由正弦定理可得，
即，
在中，，
所以，
所以，即，
因为，，
所以，因为，
所以，
因为是的角平分线，
所以，
在中，，①
在中，，②
因为，所以，
由①②可得，，
解得，，
所以，由余弦定理可得，
故选：A
8.已知正方体的棱长为2，E，F分别是棱，的中点，动点P在正方形包括边界内运动，若面，则线段的长度范围是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先过点画出与平面平行的平面，然后得出点的轨迹，最后计算的长度取值范围即可.
【详解】如图，分别作的中点，连接，如图，
易得，又平面，平面，故平面，
在正方体中，易得，
所以四边形是平行四边形，则，
又平面，平面，故平面，
又，平面，所以平面平面，
因为面，平面，所以平面，
又平面，平面平面，
所以动点在正方形的轨迹为线段，
在三角形中，，，
所以点到点的最大距离为，
最小距离为等腰三角形在边上的高为，
所以线段的长度范围为.
故选：D.
【点睛】关键点睛：本题解决的关键是过作出面的平行面，从而求得的运动轨迹，由此得解.
二、多项选择题：（本题共3小题，每小题6分，共18分）
9.如图所示，已知P，Q，R分别是三边的AB，BC，CA的四等分，如果，，以下向量表示正确的是（）
A. B. C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】利用平面向量基本定理以三角形法则，对各个选项逐个判断求解即可.
【详解】由已知可得，故D错误；
因为P，Q，R分别是三边的AB，BC，CA的四等分点，
由,故A错误；
，故B正确；
，故C正确.
故选：BC
10.下列结论中正确的是（）
A.若，则或
B.若，则
C.若复数满足，则的最大值为3
D.若（，），则
【答案】BC
【解析】
【分析】对于A：令，由此即可验证；对于B：由模长公式以及复数乘法即可验证；
对于C：由复数的几何意义即可验证；对于D：令即可验证.
【详解】对于A：令，所以由复数模长公式有，但这与或矛盾，故A选项不符合题意；
对于B：令，所以，所以，
且，所以，故B选项符合题意；
对于C：令，若复数满足，则有（其中），
所以，所以，
所以，即当且仅当即当且仅当时，有最大值为3，