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2024-2025学年二学期期中考试
高二数学试题
满分150分考试时间120分钟
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.计算：（）
A.8 B.10 C.12 D.16
【答案】D
【解析】
【分析】根据排列，组合数计算公式进行计算即可.
【详解】.
故选：D.
2.中国灯笼又统称为灯彩，主要有宫灯、纱灯、吊灯等种类.现有4名学生，每人从宫灯、纱灯、吊灯中选购1种，则不同的选购方式有（）
A.种 B.种 C.种 D.种
【答案】A
【解析】
【分析】根据给定条件，利用分步乘法计数原理列式即得.
【详解】依题意，每个人的选购方式有3种，所以不同的选购方式有种.
故选：A
3.在的展开式中，的系数是（）
A. B.8 C. D.4
【答案】A
【解析】
【分析】直接利用二项式定理计算即可.
【详解】的展开式通项为，
取，则，系数为.
故选：A
4.如图，在棱长为1的正方体中，分别为的中点，则与所成的角的余弦值为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量求解异面直线的夹角余弦值.
【详解】以D作坐标原点，分别以DA，DC，所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，
则，
所以，
设与所成角的大小为，
则.
故选：C
5.从中任取个不同的数，事件“取到的个数之和为偶数”，事件“取到两个数均为偶数”，则
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先求得和的值，然后利用条件概率计算公式，计算出所求的概率.
【详解】依题意,,故.故选B.
【点睛】本小题主要考查条件概型的计算，考查运算求解能力，属于基础题.
6.用0，1，2，3，4可以组成没有重复数字的四位偶数的个数为（）
A.36 B.48 C.60 D.72
【答案】C
【解析】
【分析】当个位数为0时，从其他4个数选3个进行排列，当个位数为2或4时，从剩下的非零的3个数中选一个排在千位，再从剩下的3个数中选2个排在十位和百位，最后用分类计数原理求解.
【详解】当个位数为0时，有个，
当个位数为2或4时，有个，
所以无重复数字的四位偶数有24+36=60个，
故选：C.
7.已知，则点到直线的距离为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用空间点到直线的距离公式计算求解即可.
【详解】因为，所以，
所以在上投影的长度为，
所以点到直线的距离为.
故选：C
8.如图，平行六面体的底面是边长为1的正方形，且，，则线段的长为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先以为基底表示空间向量，再利用数量积运算律求解.
【详解】解：，
，
，
，
所以，
故选：B
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.2名女生、4名男生排成一排，则2名女生不相邻的排法有种.
A. B. C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】
由题意，先排男生，再插入女生，可得选项B正确，或用减法，先进行全排列再减去女生相邻的情况，可得选项C正确．
【详解】由题意，可先排男生，再插入女生，可得两名女生不相邻的排法共有，故B正确；
也可先进行全排列，则2名女生相邻情况为，则2名女生不相邻的排法有，故C正确；
故选：BC.
【点睛】本题考查排列组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题.
10.设，则下列说法正确的是（）
A. B.
C.展开式中二项式系数最大的项是第5项 D.
【答案】BD
【解析】
【分析】根据二项式展开式的通项公式、赋值法以及二项式系数的性质来逐一分析选项.
【详解】对于选项，在中，令，可得，所以选项错误.
对于选项，令，则，即.
由选项可知，所以，选项正确.
对于选项，因为为偶数，根据二项式系数的性质，
当为偶数时，中间一项（即第项）的二项式系数最大，所以展开式中二项式系数最大的项是第项，选项错误.
对于选项，二项式展开式的通项公式为.
当时，；
当时，.
因为，即，选项正确.
故选：BD.
11.如图，点在正方体的面对角线上运动，则下列结论中正确的是（）
A.三棱锥的体积不变 B.平面
C. D.平面平面
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用等体积法判断体积不变，A正确；证明平面平面，即知平面，B正确；建立空间直角坐标系，通过空间向量的数量积运算证明C错误D正确即可.
【详