2024－2025学年第二学期高二年级期中考试
数学试题
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.用数字组成无重复数字的五位偶数的个数为（）
A.8 B.24 C.48 D.120
2.二项式的展开式中的常数项为（）
A B. C. D.
3.已知数列的前项和为，满足，则（）
A.364 B.362 C.121 D.120
4.已知双曲线.若直线与有公共点，则的离心率的范围为（）
A. B. C. D.
5.已知平面的法向量为，，平面的法向量为，若，则（）
A.最大值为2 B.最大值为
C.最小值为 D.最小值为2
6.将若干个除颜色外完全相同的红色小球和黑色小球排成一列，要求所有的红球互不相邻，当小球的总数为8时，满足条件的不同排列方法的总数之和为（）
A.20 B.36 C.54 D.108
7.甲、乙、丙、丁四名同学报名参加假期社区服务活动，社区服务活动共有关怀老人、环境监测、教育咨询这三个项目，每人限报其中一项，记事件为“恰有2名同学所报项目相同”，事件为“只有甲同学一人报关怀老人项目”，则（）
A. B. C. D.
8.已知定义域为的函数满足，且，若其导函数为，则等于（）
A. B.0 C. D.1
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多顶符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选顶，每选对一个得3分；若只有3个正确选项，每选对一个得2分）
9.关于空间向量，以下说法正确是（）
A.空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面
B.若，则是锐角
C.已知向量组是空间的一个基底，则也是空间的一个基底
D.已知不共线，对空间任意一点，若，则四点共面
10.一批产品有的次品，现从中随机抽样（不放回），直到抽出1件次品为止，令表示直到抽出一件次品时已经抽出的产品个数，且的概率分布由下列公式给出：，，则下列说法正确的是（）
A.
B.表示前四次抽到正品，第五次抽到次品的概率
C.表示第三次抽到次品的概率
D.
11.已知数列满足，，，则（）
A.
B.被7除的余数为5
C.的个位数为4
D.存在实数，使得数列是等比数列
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共计15分．）
12.已知抛物线焦点为，抛物线上一点的横坐标为2，则______．
13.已知定义在上的可导函数的导函数为，满足且，则不等式的解集为______．
14.如图，一块矿石晶体的形状为四棱柱，底面是正方形，，，且，，与所成角的余弦值为______．
四、解答题本题共5小题，共77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15.已知各项均为正数的数列，其前项和为，且．
（1）求数列通项公式；
（2）求数列前项和；
16.已知椭圆经过点和点
（1）求椭圆的方程与焦距．
（2）直线与椭圆N的交点为两点，若，求证：直线过定点．
17函数.
（1）若曲线在处的切线的方程为，求实数、的值；
（2）若，对任意且，不等式成立，求的最小值.
18.设．
（1）求；
（2）若,
①求取最大时的值；
②求.
19.如图，圆柱的底面半径和母线长均为4，是底面直径，点在圆上且，点在母线上，，点是上底面上的一个动点（若建系，请以为坐标轴建系）
（1）求平面与平面的夹角的余弦值；
（2）若，求动点的轨迹形状和长度；
（3）若点只在上底面上的圆周上运动，求当的面积取得最大值时，点的位置.（可用坐标表示）