2024－2025学年第二学期高二年级期中考试
数学试题
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.用数字组成的无重复数字的五位偶数的个数为（）
A.8 B.24 C.48 D.120
【答案】C
【解析】
【分析】先确定个位，再考虑其他数位，利用分步乘法计数原理计算即得.
【详解】分两步完成，第一步，确定个位数字，有2种方法，
第二步将余下的四个数字在除个位外的四个数位上全排，有种方法，
由分步乘法计数原理，这样的五位偶数有个.
故选：C
2.二项式的展开式中的常数项为（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用二项式的通项公式即可得出．
【详解】二项式展开式的通项公式为，
令，解得，
所以二项式展开式中的常数项为，
故选：D．
3.已知数列的前项和为，满足，则（）
A.364 B.362 C.121 D.120
【答案】A
【解析】
【分析】首先利用公式，判断数列是等比数列，再代入公式，即可求解.
【详解】令，得，得，
由，
当时，，两式相减得，
，即，即，
所以数列是以为首项，为公比等比数列，
所以.
故选：A.
4.已知双曲线.若直线与有公共点，则的离心率的范围为（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由直线斜率与双曲线渐近线斜率关系结合离心率的齐次式即可求解.
【详解】双曲线的一条渐近线为，
因为直线与双曲线有公共点，故有，即，
所以，所以.所以，
所以的离心率的范围为.
故选：C.
5.已知平面的法向量为，，平面的法向量为，若，则（）
A.最大值为2 B.最大值为
C.最小值为 D.最小值为2
【答案】B
【解析】
【分析】根据，可得，则，进而可求出的关系及符号，再利用基本不等式即可得解.
【详解】因为，所以，
则存在唯一实数，使得，
即，
所以，所以，
因为，所以，所以，
则，
当且仅当，即时取等号，
所以的最大值为.
故选：B.
6.将若干个除颜色外完全相同的红色小球和黑色小球排成一列，要求所有的红球互不相邻，当小球的总数为8时，满足条件的不同排列方法的总数之和为（）
A.20 B.36 C.54 D.108
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意可知最多有4个红球，因此根据红球个数进行讨论即可，不相邻问题用“插空法”.
【详解】8个除颜色外完全相同的球，要使红球互不相邻，则最多有4个红球，根据红球个数分类讨论:
1个红球7个黑球：先排7个黑球共有1中排法，从8个空里面选出1个空让红球插入，有种选法;
2个红球6个黑球：先排6个黑球共有1中排法，从7个空里面选出2个空让红球插入，有种选法;
3个红球5个黑球：先排5个黑球共有1中排法，从6个空里面选出3个空让红球插入，有种选法;
4个红球4个黑球：先排4个黑球共有1中排法，从5个空里面选出4个空让红球插入，有种选法;
所以满足条件的不同排列方法的总数之和为.
故选：C.
7.甲、乙、丙、丁四名同学报名参加假期社区服务活动，社区服务活动共有关怀老人、环境监测、教育咨询这三个项目，每人限报其中一项，记事件为“恰有2名同学所报项目相同”，事件为“只有甲同学一人报关怀老人项目”，则（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
确定事件AB，利用古典概型的概率公式计算出P(AB)和P(A)，再利用条件概型的概率公式可计算出P(B|A)的值.
【详解】事件AB为“4名同学所报项目恰有2名同学所报项目相同且只有甲同学一人报关怀老人项目”.
,
所以
故选：A
【点睛】本题考查条件概型概率的计算，考查条件概率公式的理解和应用，考查运算能力，属于中等题．
8.已知定义域为的函数满足，且，若其导函数为，则等于（）
A. B.0 C. D.1
【答案】D
【解析】
【分析】根据复合函数的导数、函数的周期性等知识进行分析，从而求得正确答案.
【详解】由，两边同时求导，得，即．
又因为，两边同时求导，得，
所以，即．
所以．两式相减，得，
所以为周期函数，4为最小正周期．在中，
令，得，所以．
故选：D．
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多顶符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选顶，每选对一个得3分；若只有3个正确选项，每选对一个得2分）
9.关于空间向量，以下说法正确的是（）
A.空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面
B.若，则是锐角
C.已知向量组是空间的一个基底，则也是空间的一个基底
D.已知不共线，对空间任意一点，若，则四