常德市一中2025年上学期高一年级期中考试试卷
数学
时量：120分钟满分：150分
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设i是虚数单位，则复数在复平面内所对应的点位于
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
【答案】B
【解析】
【详解】试题分析：由题意得，所以在复平面内表示复数的点为在第二象限．
故选B．
考点：复数的运算；复数的代数表示以及几何意义.
2.一个平面图形用斜二测画法画出的直观图如图所示，此直观图恰好是一个边长为2的正方形，则原平面图形的面积为（）
A.4 B. C.16 D.8
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意，由斜二测画法的规则，即可得到原图形的面积.
【详解】还原直观图为原图形，如图所示，
因为，所以，
还原回原图形后，，，
所以原图形面积为.
故选：D
3.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，则b=（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】直接利用正弦定理的应用和三角函数值的应用求出结果．
【详解】解：在中，角，，所对的边分别是，，．若，，，
利用正弦定理：，
整理得：．
故选：D．
【点睛】本题考查正弦定理的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．
4.若圆锥的轴截面为等腰直角三角形，则它的底面积与侧面积之比是（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意作图，由轴截面得出母线与底面圆半径的等量关系，再利用底面积和侧面积公式求解.
【详解】根据题意作圆锥的轴截面，如图，
设圆锥的底面圆半径为，高为，母线长为.
若圆锥的轴截面为等腰直角三角形，
则有，所以.
该圆锥的底面积与侧面积比值为.
故选：A
5.中，角的对边分别是，，.若这个三角形有两解，则的取值范围是（）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由正弦定理结合已知，可推得.进而根据三角形解得个数推得，即可得出答案.
【详解】由正弦定理可得，.
要使有两解，即有两解，则应有，且，
所以，
所以.
故选：B．
6.若，是夹角为的两个单位向量，且与的夹角为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先求得的值，根据数量积的运算法则求得以及的模，再根据向量的夹角公式，即可求得答案.
【详解】因为，是夹角为的两个单位向量，
所以，
故，
，
，
故，
由于，故.
故选：B.
7.已知一个圆台的上底面圆的半径为2，下底面圆的半径为4，体积为56，则该圆台的高为（）
A.3 B.4 C.5 D.6
【答案】D
【解析】
【分析】根据圆台的体积公式进行求解即可.
【详解】设该圆台的高为，上?下底面圆的半径分别为.
由圆台的体积公式，得，解得.
故选：D
8.已知锐角中角，，所对边的长分别为，，，且，则的取值范围为（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据已知边化角求得，然后根据已知得出.根据两角差的余弦公式以及两角差的正弦公式，化简得出，进而根据三角函数的范围，即可得出答案.
【详解】由边化角可得，.
因为，所以.
因为为锐角三角形，所以，
所以，，
由可得，.
因为，
又，
所以，，
所以，.
故选：C.
【点睛】思路点睛：通过已知求出，然后消去，化简得出关于的三角函数，化简根据三角函数的范围，即可得出答案.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.下列结论中正确的是（）
A.若，则或
B.若，则
C.若复数满足，则的最大值为3
D.若（，），则
【答案】BC
【解析】
【分析】对于A：令，由此即可验证；对于B：由模长公式以及复数乘法即可验证；
对于C：由复数的几何意义即可验证；对于D：令即可验证.
详解】对于A：令，所以由复数模长公式有，但这与或矛盾，故A选项不符合题意；
对于B：令，所以，所以，
且，所以，故B选项符合题意；
对于C：令，若复数满足，则有（其中），
所以，所以，
所以，即当且仅当即当且仅当时，有最大值为3，故C选项符合题意；
对于D：令可知，但这与矛盾，故D选项不符合题意.
故选：BC．
10.如图（1）是一个正四棱柱形的密闭容器水平放置，其底部镶嵌了同底的正四棱锥形实心装饰块，容器内盛有升水时，水面恰好经过正四棱锥的顶点，如果将容器倒置，水面也恰好过点（图（2））．下列四个命题中，正确的有（）
A.