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河南省2024—2025年度高二期中考试
数学
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
4.本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第一册占30%，选择性必修第二册占35%，选择性必修第三册第六、七章占35%.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.若直线与互相垂直，则（）
A0 B. C. D.
2.已知数列的前n项和为，且，则（）
A.1 B.2 C. D.
3.在的展开式中，的系数为（）
A.250 B.500 C. D.
4.已知各项均为正数的等比数列的前4项和为30，且，则（）
A.1 B.2 C.4 D.8
5.曲线在点处的切线方程为（）
A. B. C. D.
6.已知直线与函数，的图象分别交于点、，当取得最小值时，（）
A B. C. D.
7.记棱长为2的正方体的内切球为球是球O的一条直径，P为该正方体表面上的动点，则的最大值为（）
A.1 B.2 C.3 D.4
8.将一根长为3的铁丝截成9段，使其组成一个正三棱柱的框架（铁丝长等于正三棱柱所有棱的长度之和），则该正三棱柱的体积最大为（）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.记为等差数列的前n项和．已知，则（）
A. B. C. D.
10.已知函数，下列结论正确的是（）
A.若为奇函数，则
B.的图象关于直线对称
C.若，则的单调递增区间为
D.当时，上单调递增
11.已知表示中最小的数，表示中最大的数.若数列，都只有项，且都是由数字，，，，，，，随机排列而成的（每个数字都出现，但不重复出现），记，，则（）
A.X的值可能为，，， B.的值可能为，，，
C.的概率为 D.的概率为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.某林业科学院培育新品种草莓，新培育草莓单果质量（单位：g）近似服从正态分布，现有该新品种草莓10000个，估计其中单果质量超过的草莓有___________个．
附：若，则．
13.将6名志愿者安排到5个小区参加以“健康生活”为主题的宣传活动，每名志愿者只去1个小区，每个小区至少安排1名志愿者，则不同的安排方法共有___________种．
14.双曲线左、右焦点分别为是双曲线C右支上一点，且直线的斜率为是面积为的直角三角形，则双曲线C的实半轴长为___________．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.已知椭圆的离心率为，点在椭圆C上．
（1）求椭圆C的标准方程．
（2）直线与椭圆C交于M，N两点．
①求m的取值范围；
②若，求的值．
16.为了研究某中药预防方对预防某种疾病的效果，进行实验后得到如下结果：
单位：人
服用情况
患病情况
患病
不患病
服用中药预防方
100
900
不服用中药预防方
400
600
（1）从参与该实验的人中任选1人，A表示事件“选到的人服用中药预防方”，B表示事件“选到的人不患病”．利用该调查数据，求的值．
（2）以频率作为概率，若每天从参与该实验且服用了中药预防方的人中随机抽取1人，连续抽10天，每天抽取的结果相互独立，记这10天抽到的人中不患病的人数为X，求X的期望．
17.如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，．
（1）证明：平面平面．
（2）若二面角的余弦值为，求四棱锥的体积．
18.已知函数．
（1）求的极值；
（2）求的单调区间；
（3）若，求a的取值范围．
19.某商家为吸引顾客，准备了两份奖品，凡是进店消费即可参与抽奖，奖品被抽完即抽奖活动终止．抽奖的规则如下：在一个不透明的盒子中有放回地取球（小球大小和质地相同），取出红球，则不获奖，取出白球，则获奖．刚开始盒子中有个白球和个红球，参与抽奖的顾客从盒子中随机抽取1个球，若不获奖，则将球放回，该顾客抽奖结束，下一名顾客继续抽奖．若获奖，则将球放回后再往盒子中加个红球，该顾客再继续抽奖．若第二次抽奖不获奖，则将球放回，该顾客只获得一份奖品，抽奖结束，下一名顾客继续抽奖；若第二