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河南省2024—2025年度高二期中考试
数学
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
4.本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第一册占30%，选择性必修第二册占35%，选择性必修第三册第六、七章占35%.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.若直线与互相垂直，则（）
A.0 B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】分类讨论直线斜率，再利用即可.
【详解】由题意可知直线的斜率，
当时，直线的斜率不存在，不满足；
当时，直线的斜率，
由，得，即，解得．
故选：B
2.已知数列的前n项和为，且，则（）
A.1 B.2 C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据代入即可得解.
【详解】当时，，又，则．
当时，，又，所以，
解得：．
故选：D
3.在的展开式中，的系数为（）
A.250 B.500 C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据二项式展开式的通项公式即可求得答案.
【详解】由二项式展开式的通项公式可得，，
令，解得，所以的系数为．
故选：C
4.已知各项均为正数的等比数列的前4项和为30，且，则（）
A.1 B.2 C.4 D.8
【答案】D
【解析】
【分析】根据等比数列通项公式的基本量运算求出，进而得出.
【详解】设等比数列的公比为q，则，又，
解得，故．
故选：D.
5.曲线在点处的切线方程为（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先求出导函数得出切线斜率，再应用点斜式写出直线方程.
【详解】，所求切线方程为．
故选：A.
6.已知直线与函数，的图象分别交于点、，当取得最小值时，（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】令函数，利用导数求出函数的最小值及其对应的值，即可得出结论.
【详解】由题意可得，
令函数，则．
由可得，由可得，
所以，函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，，即的最小值为，此时．
故选：A.
7.记棱长为2的正方体的内切球为球是球O的一条直径，P为该正方体表面上的动点，则的最大值为（）
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】B
【解析】
【分析】根据空间向量的加法运算和数量积的运算律求解.
【详解】由题意可得，球O的半径为1．
．当P为正方体顶点时等号成立，
故选：B
8.将一根长为3的铁丝截成9段，使其组成一个正三棱柱的框架（铁丝长等于正三棱柱所有棱的长度之和），则该正三棱柱的体积最大为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先求出正三棱柱的体积，再求出导函数，根据导函数正负得出函数单调性，进而得出最大值即可.
【详解】设正三棱柱的底面边长为x，侧棱长为y，则，即．
正三棱柱的体积．
当时，，当时，，所以函数在上单调递增，在上单调递减，
所以当时，V取得最大值，最大值为．
故选：C.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.记为等差数列的前n项和．已知，则（）
A. B. C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据等差数列，且，求得，再利用等差数列通项公式和前项和公式求解.
【详解】解得：
所以，
A，B，D正确，，C错误．
故选：ABD
10.已知函数，下列结论正确的是（）
A.若为奇函数，则
B.的图象关于直线对称
C.若，则的单调递增区间为
D.当时，在上单调递增
【答案】BCD
【解析】
【分析】A选项，求定义域，根据奇函数性质求出；B选项，计算出，B正确；C选项，，解不等式求出单调递增区间；D选项，求导，得到，其中，解不等式求出单调递增区间.
【详解】A选项，定义域为，
若奇函数，则，解得，A错误．
B选项，，
所以的图象关于直线对称，B正确．
C选项，若，则．
令，解得，
所以的单调递增区间为，C正确．
D选项，
，
当时，，故．
令，即，解得，
所以的单调递增区间为，D正确．
故选：BCD
11.已知表示中最小的数，表示中最大的数.若数列，都只有项，且都是由数字，，，，，，，随机排列而成的（每个数字都出现，但不重复出现），记，，则（）
A