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北师大贵阳附中2024-2025学年度第二学期期中考试试卷
高二数学
（考试时间：120分钟试题满分：150分）
第Ⅰ卷（选择题）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．
1.已知集合，，则（）
A. B. C. D.
2若，则（）
A.380 B.190 C.188 D.240
3.已知复数，为z的共轭复数，则的虚部为（）
A. B. C. D.
4.已知向量若则（）
A. B. C. D.
5.展开式中系数为（）
A.10 B.15 C.20 D.25
6.一组数据按从小到大的顺序排列为1，3，8，，14，16，若该组数据的中位数是极差的，则该组数据的第60百分位数是（）
A.4 B.6 C.8 D.10
7.某班要从8名班干部（其中5名男生，3名女生）中选取3人参加学校优秀班干部评选，事件：男生甲被选中，事件：有两名女生被选中，则为（）
A. B. C. D.
8.设为数列前n项和，若，则（）
A.1032 B.1033 C.520 D.521
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9.已知离散型随机变量，满足，其中的分布列为：且，则下列正确的是（）
0
1
2
A. B. C. D.
10.在一个不透明的袋子里装有编号为1，2，3的3个白球和编号为4，5的2个红球.这五个小球除颜色外完全相同.现从中不放回地抽取2次，每次抽取一个小球，则下列说法正确的是（）
A.第二次抽到红球的概率为
B.在抽取过程中，至少有一次抽到红球的概率为
C.若已知第二次抽到是红球，则第一次也抽到红球的概率为
D.设抽到红球的个数为X，则
11.函数，则下列说法正确的是（）
A.的图象过定点 B.当时，在上单调递增
C.当时，恒成立 D.存在，使得与轴相切
第Ⅱ卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12.展开式中的常数项为__________.
13.从名同学中选择人参加三天志愿服务活动，有一天安排两人，另两天各安排一人，共有__________种安排方法（用数字作答）
14.曲线上的点到直线的最短距离是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
15.已知函数.在中，，且.
（1）求的大小：
（2）若，，求的面积.
16.如图所示，在四面体中，平面，是中点，分别在线段上，且，．
（1）求证：平面；
（2）若，，求直线与平面所成角正弦值．
17.已知编号为甲、乙、丙的三个袋子中装有除标号外完全相同的小球，其中甲袋内装有两个1号球，一个2号球和一个3号球；乙袋内装有两个1号球，一个3号球；丙袋内装有三个1号球，两个2号球和一个3号球.
（1）从甲袋中一次性摸出2个小球，记随机变量为1号球的个数，求随机变量的分布列和数学期望；
（2）现按照如下规则摸球：连续摸球两次，第一次先从甲袋中随机摸出1个球，若摸出的是1号球放入甲袋，摸出的是2号球放入乙袋，摸出的是3号球放入丙袋；第二次从放入球的袋子中再随机摸出1个球.求第二次摸到的是3号球的概率.
18.已知椭圆的左焦点在抛物线的准线上，且椭圆的短轴长为．
（1）求椭圆的方程；
（2）已知过原点的直线与椭圆相交于M，N两点，若直线：上存在点Q，使得是以为底边的等腰直角三角形，求直线的方程．
19.已知，．
（1）当时，求函数的极小值；
（2）若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围；
（3）若当时，函数，有最小值，证明：．