2025年春季学期高一4月质量检测卷
数学
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
4．本试卷主要考试内容：北师大版必修第二册第一章至第二章．
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.函数的图象是（）
A.关于y轴对称 B.关于x轴对称
C.关于原点对称 D.关于对称
2.设平面向量，，则（）
A. B. C. D.
3.已知与是两个不共线的向量，，若三点共线，则实数的值为（）
A. B. C.4 D.5
4.已知单位向量满足，则在上的投影向量为（）
A. B. C. D.
5.已知向量满足且，则与的夹角为（）
A. B. C. D.
6.的三个内角、、所对的边分别为、、，且，，其面积为，则的外接圆的直径为（）
A. B.
C D.
7.已知函数的最小正周期为，则不等式的解集为（）
A B.
C. D.
8.已知，函数在上有且只有一个零点，则的取值范围是（）
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9.已知，，则下列各式的值一定为正数的是（）
A. B. C. D.
10.已知函数的部分图像如图所示，下列说法正确的是（）
A.的图像关于直线对称
B.的图像关于点对称
C.将函数的图像向右平移个单位长度得到函数的图像
D.若方程在上有两个不相等实数根，则的取值范围是
11.如图，为边长为2的等边三角形，以的中点为圆心，1为半径作一个半圆，点为此半圆弧上的一个动点，则下列说法正确的是（）
A.
B.
C.的最大值为5
D.若，则当三点共线时，
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12.如图，在平行四边形中，，向量，，用向量，表示，则______．
13.如图，为测量河对岸A，B两点间距离，沿河岸选取相距40m的C，D两点，测得，，，，则A，B两点的距离是__________m.
14.已知定义在R上的函数满足，当时，，若，则的最小值为_______．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15.已知角的终边经过点，.
（1）求的值；
（2）求的值.
16.已知扇形的圆心角是，半径为R，弧长为l．
（1）若，求扇形的弧长l；
（2）若，求扇形的弧所在的弓形的面积；
（3）若扇形的周长是，当扇形的圆心角为多少弧度时，这个扇形的面积最大？
17.在中，已知，且.
（1）求角B的度数.
（2）若，求面积.
（3）若点D在边AC上，且，求的度数（用角B的表达式表示，并求出具体值）.
18.已知函数的部分图象大致如图所示．
（1）当时，求函数的单调递增区间；
（2）若当时，恒成立，求的取值范围．
19.如图所示，设是平面内相交成角的两条数轴，分别是与轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系为仿射坐标系，若在仿射坐标系下，则把有序数对叫做向量的仿射坐标，记为．
（1）在仿射坐标系中，若，，且，求实数；
（2）仿射坐标系中，若，．
①当时，求；
②设，若对任意实数，恒成立，求的最大值．