红岭中学2024—2025学年度第二学期第一学段考试
高一数学试卷
（说明：本试卷考试时间为120分钟，满分为150分）
一、单选题（本大题共8小题，每题5分，共40分，每小题的4个选项中仅有一个选项是正确的，请将你认为正确的答案的代号涂在答题卡上）
1.已知复数z满足，其中i为虚数单位，则z的虚部为（）
A.i B. C. D.1
2.三个不互相重合的平面将空间分成个部分，则不可能是（）
A B. C. D.
3.已知向量，，则在上的投影向量为（）
A. B. C. D.
4.已知，，是同一平面内的三个向量，下列命题中正确的是（）
A.，，则
B.若且，则
C.，则与同向
D.若，是非零向量，且，则与同向
5.紫砂壶是中国特有手工陶土工艺品，经典的有西施壶，石瓢壶，潘壶等，其中石瓢壶的壶体可以近似看成一个圆台，如图给了一个石瓢壶的相关数据（单位：），那么该壶的容积约为（????）
A. B. C. D.
6.已知，表示两个不同的平面，a，b，c表示三条不同的直线，（）
A.若，，则
B.若，，，，则
C.若，，，，则
D.若，，则
7.已知的三个顶点在以为球心的球面上，且，，，三棱锥的体积为，则球的表面积为
A. B. C. D.
8.如图，已知正方形的边长为4，若动点在以为直径的半圆上（正方形内部，含边界），则的取值范围为（）
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共3小题，每题6分，共18分，每小题选项中有多个选项是正确的，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分，请将你认为正确的答案的代号涂在答题卡上）
9.已知复数，下列结论正确的有（）
A.若，则
B.若，则
C.若复数满足，则在复平面内对应的点的轨迹为圆
D.若是关于的方程的一个根，则
10.长江某段南北两岸平行，如图，江面宽度．一艘游船从南岸码头A点出发航行到北岸．已知游船在静水中的航行速度的大小为，水流速度的大小为．设和的夹角为θ（），则（）．
A.当船的航行时间最短时， B.当船的航行距离最短时，
C.当时，船的航行时间为12分钟 D.当时，船的航行距离为
11.如图，在直四棱柱中，底面ABCD为菱形，，，P为的中点，点Q满足，则下列结论中正确的是（）
A.若，则四面体的体积为定值
B.若的外心为O，则为定值2
C.若，则点Q的轨迹长度为
D.若且，则存在点，使得的最小值为
三、填空题（本大题共3小题，每题5分，共15分）
12.如图所示，为测量一树的高度，在地面上选取两点，从两点分别测得树尖的仰角为，且两点间的距离为，则树的高度为_______m.
13.在△ABC中，O是BC边上靠近点B的五等分点，过点O的直线与射线AB，AC分别交于不同两点M，N，设，则______．
14.在中，D是边上靠近B的三等分点，若，.①面积的最大值_______；②的最小值_______.
四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15.设，，向量，，，且，．
（1）求；
（2）求向量与夹角的余弦值．
16.已知中，.
（1）求的值；
（2）为边中点，若，求.
17.如图，在四棱台中，底面是正方形，平面，，，.
（1）求证：平面；
（2）求直线到平面的距离.
18.已知平面四边形ABDC中，对角线CB为钝角的平分线，CB与AD相交于点O，，，.
（1）求的值；
（2）求的长；
（3）若，求的面积.
19.离散曲率是刻画空间弯曲性的重要指标．设P为多面体M的一个顶点，定义多面体M在点P处的离散曲率为，其中为多面体M的所有与点P相邻的顶点，且平面，平面，…，平面和平面为多面体M的所有以P为公共点的面．
（1）求三棱锥在各个顶点处离散曲率的和；
（2）如图，已知在三棱锥中，平面ABC，，，三棱锥在顶点C处的离散曲率为．
①求直线PC与直线AB所成角余弦值；
②若点Q在棱PB上运动，求直线CQ与平面ABC所成的角的最大值．