博罗县2024-2025学年第二学期阶段性教学质量检测
高一数学试题
本试卷共19小题，满分150分.考试时间120分钟.
一、单项选择题（本小题共有8个小题，每小题5分，共40分）
1.已知复数满足，则（）
A. B. C. D.
2.已知点，，且，则点的横坐标与纵坐标之和为（）
A. B. C. D.
3.在锐角中，角，，所对的边分别为，，，若，则（）
A B. C. D.
4.如图，水平放置的四边形OABC的斜二测画法的直观图为直角梯形，已知，则原四边形OABC的面积为（）
A. B.3 C. D.
5.如图，为了测量M，N两点之间的距离，某数学兴趣小组的甲、乙、丙三位同学分别在N点、距离M点600米处的P点、距离P点200米处的G点进行观测．甲同学在N点测得，乙同学在P点测得，丙同学在G点测得，则M，N两点间的距离为（）
A.米 B.米 C.米 D.米
6.已知物体受平面内的三个力作用于同一点，且该物体处于平衡状态，若，，且的夹角为，则（）
A B. C. D.
7.如图，一个圆柱形容器中盛有水，圆柱母线，若母线放置在水平地面上时，水面恰好过的中点，那么当底面圆水平放置时，水面高为（）
A. B. C. D.
8.已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，叫做把点B绕点A沿逆时针方向旋转角得到点P.已知平面内点，点，，，点B绕点A沿逆时针方向旋转得到点P，则下列结论错误的是（）
A. B.P的坐标为
C.B的坐标为 D.在方向上的投影向量为
二、多项选择题(共3小题，每小题满分6分，共18分.在每题四个选项中，有多项符合题目要求.部分选对得部分分，有选错的得0分.)
9.已知复数，，则下列结论正确的是（）
A.若为纯虚数，则
B.若在复平面内对应的点位于第二象限，则
C.若，则
D.若，则
10.已知圆锥的底面半径为1，高为，为顶点，，为底面圆周上两个动点，则（）
A.圆锥的体积为
B.从点出发绕圆锥侧面一周回到点的无弹性细绳的最短长度为
C.圆锥的侧面展开图的圆心角大小为
D.圆锥截面的面积的最大值为
11.在中，角，，所对的边分别为，，，则下列结论正确的是（）
A.若，则为锐角；
B.若，则；
C.若，则为等腰三角形；
D.若不是直角三角形，则.
第二部分（非选择题，共92分）
三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡相应横线上.
12.使不等式（为虚数单位）成立的实数________.
13.在直三棱柱中，.若该直三棱柱的外接球表面积为，则此三棱柱的高为__________.
14.已知非零向量与的夹角为锐角，为在方向上的投影向量，且，则与的夹角的最大值是______．
四、解答题：本题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤.
15.的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
（1）求A；
（2）若，的面积为，求b，c的值．
16.如图，在中，已知，，，，分别为，上的两点，，，相交于点．
（1）求值；
（2）求证：．
17.图①是一块正四棱台的铁料，上、下底面的边长分别为和，，分别是上、下底面的中心，棱台高.
（1）求正四棱台的表面积；
（2）若将这块铁料最大限度地打磨为一个圆台（如图②），求削去部分与圆台体积之比.
18.在中，角，，所对的边分别为，，，且.
（1）求角；
（2）若的角平分线交于点，且，，求边的长度；
（3）若为锐角三角形，，求周长的取值范围.
19.对于给定正整数n，记集合，其中元素称为一个n维向量，特别地，称为零向量.设，，，定义加法和数乘：，.对一组向量，，…，，若存在一组不全为零的实数，，…，，使得，则称这组向量线性相关，否则称为线性无关.
（1）判断下列各组向量是线性相关还是线性无关，并说明理由.
①，；
②，，；
（2）已知，，线性无关，判断，，是线性相关还是线性无关，并说明理由.
（3）已知个向量，，…，线性相关，但其中任意个都线性无关，证明：
①如果存在等式，则这些系数，，…，或者全为零，或者全不为零；
②如果两个等式，同时成立，其中，则.