博罗县2024-2025学年第二学期阶段性教学质量检测
高一数学试题
本试卷共19小题，满分150分.考试时间120分钟.
一、单项选择题（本小题共有8个小题，每小题5分，共40分）
1.已知复数满足，则（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据复数的四则运算可得解.
【详解】由已知，
则，
故选：C.
2.已知点，，且，则点的横坐标与纵坐标之和为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据向量共线的坐标运算，化简即可.
【详解】设，
则，，
又，
则，解得，
则，
故选：B.
3.在锐角中，角，，所对的边分别为，，，若，则（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据正弦定理进行边角互化，进而可得解.
【详解】由已知，
则中，由正弦定理可得，
又，则，
所以，即，
又，
则，
故选：B.
4.如图，水平放置的四边形OABC的斜二测画法的直观图为直角梯形，已知，则原四边形OABC的面积为（）
A. B.3 C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先利用梯形的面积公式求得直观图的面积，再利用直观图与原图面积的比值即可得解.
【详解】根据题意，直观图直角梯形中，，
则直观图的面积，
故原图的面积.
故选：A
5.如图，为了测量M，N两点之间的距离，某数学兴趣小组的甲、乙、丙三位同学分别在N点、距离M点600米处的P点、距离P点200米处的G点进行观测．甲同学在N点测得，乙同学在P点测得，丙同学在G点测得，则M，N两点间的距离为（）
A.米 B.米 C.米 D.米
【答案】C
【解析】
【分析】根据给定条件，利用余弦定理列式计算得解.
【详解】由，得，而，，
由余弦定理得（米）.
故选：C
6.已知物体受平面内的三个力作用于同一点，且该物体处于平衡状态，若，，且的夹角为，则（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先计算，再利用公式计算即可.
【详解】因，则，则，
又三个力作用于同一点，且该物体处于平衡状态，
则，即，
则.
故选：A
7.如图，一个圆柱形容器中盛有水，圆柱母线，若母线放置在水平地面上时，水面恰好过的中点，那么当底面圆水平放置时，水面高为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据两种放置方式水的体积不变即可求得.
【详解】如图，
设圆柱底面半径为，则当母线水平放置时，圆柱中含水部分可以看作是以弓形为底，为高的柱体，
因为水面过的中点，则，
则弓形的面积为，
当底面圆水平放置时，底面圆的面积为，设水面高为，
则由水的体积不变可得：，即，
解的：.
故选：.
8.已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，叫做把点B绕点A沿逆时针方向旋转角得到点P.已知平面内点，点，，，点B绕点A沿逆时针方向旋转得到点P，则下列结论错误的是（）
A. B.P的坐标为
C.B的坐标为 D.在方向上的投影向量为
【答案】D
【解析】
【分析】C选项，根据模长公式得到方程，结合，求出；B选项，根据题意得到，设，求出，得到P的坐标；A选项，计算出，求出模长；D选项，利用投影向量公式计算出答案.
【详解】C选项，因为，所以，
解得，
因为，所以，
故，所以，C正确；
B选项，，
将点绕点逆时针旋转得到点，
则，
设，则，
所以，解得，
则P的坐标为，B正确；
A选项，，
故，A正确；
D选项，在方向上的投影向量为，D错误.
故选：D
二、多项选择题(共3小题，每小题满分6分，共18分.在每题四个选项中，有多项符合题目要求.部分选对得部分分，有选错的得0分.)
9.已知复数，，则下列结论正确的是（）
A.若为纯虚数，则
B.若在复平面内对应的点位于第二象限，则
C.若，则
D.若，则
【答案】BC
【解析】
【分析】对于A，若为纯虚数，则的实部为0，虚部不为0，列出方程求解即可；对于B，若在复平面内对应的点位于第二象限，则实部小于0且虚部大于0，列出不等式求解即可；对于C，若，求出，进而求其共轭复数；对于D，若，求出，咋求模即可.
【详解】对于A，若为纯虚数，即且，则，故A错误；
对于B，若在复平面内对应的点位于第二象限，则解得，即，故B正确；
对于C，若，则，则，故C正确；
对于D，若，则，故D错误.
故选：BC.
10.已知圆锥的底面半径为1，高为，为顶点，，为底面圆周上两个动点，则（）
A.圆锥的体积为
B.从点出发绕圆锥侧面一周回到点的无弹性细绳的最短长度为
C.圆锥的侧面展开图的圆心角大小为
D.圆锥截面的面积的最大值为
【答案】AD
【解析】
【分