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2024—2025学年第二学期期中教学质量监测
高一数学
本试卷共4页，19小题，满分150分．考试用时120分钟．
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的学校、姓名、考生号、试室号和座位号填写在答题卡上，用2B铅笔将考生号填涂在答题卡相应位置上．
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上．
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答无效．
4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡交回．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.已知复数满足，则的虚部为（）
A.1 B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据复数代数形式的除法运算化简，即可判断.
【详解】因为，所以，
所以的虚部为.
故选：B
2.已知平面向量，，若，则实数（）
A.2 B. C.1 D.
【答案】A
【解析】
【分析】依题意可得，根据数量积坐标表示计算可得.
【详解】因为，且，
所以，解得.
故选：A
3.已知圆锥的底面半径为2，高为，则其侧面积为（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用侧面积公式即得.
【详解】由题意，圆锥的每线，底面周长为4π，
故其侧面积为。
故选：D．
4.已知向量，则向量在上的投影向量为（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用数量积的性质得到，然后求投影向量即可.
【详解】由，得，由，
得，则，
因此，在上的投影向量为.
故选：D.
5.在平行四边形中，点是边上的点，，点是线段的中点，若，则（）
A. B.1 C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由，及即可求解.
【详解】
因为点是线段的中点，
所以，
又，
所以，
所以，
故选：C
6.“三斜求积术”是我国宋代的数学家秦九韶用实例的形式提出的，其实质是根据三角形的三边长求三角形面积，即．现有面积为的满足，则的周长是（）
A.9 B.12 C.18 D.36
【答案】C
【解析】
分析】利用已知及正弦定理计算即可.
【详解】根据正弦定理可知，不妨设，
由，
所以的周长是.
故选：C
7.在平面直角坐标系中，已知，动点满足，且，则下列说法正确的是（）
A.点的轨迹为圆 B.点到原点最短距离为2
C.点的轨迹是一个正方形 D.点的轨迹所围成的图形面积为24
【答案】D
【解析】
【分析】设点的坐标为，由已知条件结合向量的坐标运算用表示出，结合可得的关系，从而可求出点的轨迹方程，再逐个分析判断.
【详解】设点的坐标为，因为，动点满足，
所以，得，
因为，所以，
即点的轨迹方程为，
当时，方程为，
当时，方程为，
当时，方程为，
当时，方程为，
所以点对应的轨迹如图所示，且，,
所以点的轨迹为菱形，所以AC错误，
原点到直线的距离为，所以B错误，
点的轨迹所围成的图形面积为，所以D正确.
故选：D
8.设是内一点，且，定义，其中分别是的面积，若，则的最小值是（）
A. B.18 C.16 D.9
【答案】B
【解析】
【分析】由，利用向量数量积公式得，面积公式求得，由定义得，结合基本不等式求的最小值.
【详解】设中，角的对边分别为，
，由，得，
，若，则，，
有，得，
，
当且仅当，即时等号成立，
则的最小值是18.
故选：B
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9.下列说法中正确的是（）
A.若，，则
B.对于向量，，，有
C.向量，能作为所在平面内一组基底
D.设，为非零向量，则“存在负数λ，使得”是“”的充分而不必要条件
【答案】CD
【解析】
【分析】对四个选项一一验证：
A：取=进行判断；
B：当两向量方向未必相同；
C：按基底的定义进行进行判断；
D：分充分性和必要性进行判断.
【详解】A：因为零向量与任何向量平行，所以为时，不一定平行；故A错误；
B：与向量平行，与平行，而两向量方向未必相同，故B错误；
C：因为向量与不平行，所以向量，能作为所在平面内的一组基底；故C正确；
D：充分性：因为，为非零向量，，存在负数λ，使得，则，故充分性满足；
必要性：若，即，所以，所以