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2024-2025学年第二学期期中考试
高一数学
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.
1.已知，则复数对应的点位于（）
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
2.如图所示，在三棱台中，截去三棱锥，则剩余部分是（）
A.三棱锥 B.四棱锥 C.三棱柱 D.组合体
3.已知复数z对应的向量如图所示，则复数z+1所对应的向量正确的是
A. B. C. D.
4.如图，在正方体的八个顶点中，有四个顶点A，，C，恰好是正四面体的顶点，则此正四面体的表面积与正方体的表面积之比为（）
A. B. C. D.
5.“勾3股4弦5”是勾股定理的一个特例.根据记载，西周时期的数学家商高曾经和周公讨论过“勾3股4弦5”的问题，毕达哥拉斯发现勾股定理早了500多年，如图，在矩形中，满足“勾3股4弦5”，且，为上一点，.若，则的值为（）
A. B. C. D.
6.如图，为了测量某铁塔的高度，测量人员选取了与该塔底在同一平面内的两个观测点与，现测得，，米，在点处测得塔顶的仰角为，则该铁塔的高度约为（）（参考数据：，，，）
A.米 B.米 C.米 D.米
7.已知在内有一点，满足，过点作直线分别交、于、，若，，则的最小值为
A B.
C. D.
8.已知的三个内角A、B、C满足，当的值最大时，的值为（）
A.2 B.1 C. D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.长方体的长、宽、高分别为3，2，1，则（）
A.长方体的表面积为20
B.长方体的体积为6
C.沿长方体表面从A到的最短距离为
D.沿长方体的表面从A到的最短距离为
10.下列结论中，正确的是（）
A.若向量，，且，则
B.若，，与的夹角为，则
C.已知向量，，则与的夹角为
D.若向量，，且//，则
11.下列结论中，正确的是（）
A.的运算结果为纯虚数；
B.的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，则有两解；
C.已知向量，，则的取值范围是；
D.已知，则最小值和最大值分别是和.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.棱台的上?下底面面积分别是2，4，高为3，则棱台的体积等于___________.
13.已知平面向量、的夹角为，且，，则在方向上的投影向量为_______．（用向量坐标表示）
14.已知三棱锥的各顶点都在一个半径为r的球面上，且，，则球的表面积为_________
四、解答题（本大题共5题，共7分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15.已知复数．
（1）若，求；
（2）若||，且是纯虚数，求
16已知向量，，．
（1）若向量，能构成一组基底，求实数m的范围；
（2）若，且，求向量与的夹角大小．
17.如图，为四边形的斜二测直观图，其中，，．
（1）求平面四边形的面积及周长；
（2）若四边形以为旋转轴，旋转一周，求旋转形成的几何体的体积及表面积．
18.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，
（1）求的外接圆半径；
（2）周长的取值范围．
19.如图，我们把由平面内夹角成的两条数轴Ox，Oy构成的坐标系，称为“完美坐标系”.设，分别为Ox，Oy正方向上的单位向量，若向量，则把实数对叫做向量的“完美坐标”.
（1）若向量的“完美坐标”为，求；
（2）已知，分别为向量，的“完美坐标”，证明：；
（3）若向量，“完美坐标”分别为，，设函数，，求的值域.