福州一中2024—2025学年第二学期第三学段考试
高二数学（选择性必修二）模块试卷
（完卷120分钟满分150分）
（注意：不得使用计算器，并把答案写在答案卷上）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.若，则（）
A.6 B.7 C.12 D.13
2.若函数在上单调递增，则实数a的取值范围是（）
A. B. C. D.
3.用数字1，2，3，4组成没有重复数字的三位数，则这些三位数中是3的倍数的有（）
A.6个 B.9个 C.12个 D.24个
4.在高二社会实践活动中，实践基地要求每班每天只能有一位协助员随工作人员一起进城采购．某班主任从甲、乙、丙三位同学中安排周一到周四这四天的协助员，每位同学至少担任一天的协助员，则不同的安排方案共有（）
A.36种 B.48种 C.54种 D.60种
5.如图所示的函数图象，对应的函数解析式可能是（）．
A.
B.
C.
D.
6.如图，某种雨伞架前后两排每排4个孔，共8个孔，编号分别为1-8号．若甲、乙、丙、丁四名同学每人要放一把伞，每个孔最多放一把伞，则甲放在奇数孔，乙放在偶数孔，甲、乙不放在同一排且丙、丁也不放在同一排放法有（）
A.68种 B.136种 C.144种 D.152种
7.若直线与曲线相切，则（）
A.2 B.e C.2e D.
8.若，，（其中e为自然对数的底数），则实数a，b，c的大小关系是（）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9.已知定义域为R的函数的导函数为，且满足，下列说法正确的是（）
A. B.
C. D.
10.已知为数列的前n项和，且，若对任意正整数n恒成立，则实数的值可以为（）
A B. C.5 D.
11.已知函数有唯一零点，则（）
A. B.
C.函数有三个极值点 D.函数有唯一极值点
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12已知函数，若，则__________．
13.甲、乙等5位老师到某地3所学校进行送教服务，要求每人只去一所学校，每所学校不能少于1人，且甲、乙在不同一所学校，则不同安排方法有种__________．
14.已知函数的导函数为，且对任意的实数x都有（e是自然对数的底数），，若不等式的解集中恰有1个整数，则实数k的取值范围是__________．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15.已知函数在处取得极值.
（1）求实数的值；
（2）求函数在区间上的最大值和最小值.
16.广告公司为某游乐场设计某项设施的宣传画，根据该设施的外观，设计成的平面图由半径为的扇形和三角区域构成，其中在一条直线上，，记该设施平面图的面积为，，其中．
（1）写出关于函数关系式；
（2）如何设计，使得有最大值？
17.已知数列的前项和为，且.
（1）证明：是等比数列；
（2）求的通项公式；
（3）已知，求数列的前项和，并证明：.
18.已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）当时，不等式恒成立，求实数a的值；
（3）设不同正数m，n满足，证明：．
19.已知函数与的定义域的交集为．若对恒成立，则称与为同号函数，例如，则函数与为同号函数．若存在区间，使得对恒成立，则称与为区间同号函数．
（1）设函数，试问这三个函数中是否任意两个都互为区间同号函数？请说明你的理由．
（2）设函数．
（ⅰ）证明：与为同号函数．
（ⅱ）若恒成立，证明：．