福州市八县（市）协作校2024—2025学年第二学期期中联考
高二数学试卷
【完卷时间：120分钟；满分：150分】
一、单选题:本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若，则实数的值为（）
A．5 B．3 C．10 D．5或3
2．2025年福清市元宵晚会共有3个语言类节目，2个杂技魔术类节目，5个歌舞类节目，假设从中依次不放回地随机抽取两个节目参加福州市元宵晚会，求第一次抽到杂技魔术类节目的条件下，第二次抽到语言类节目的概率为（）
A． B． C． D．
3.函数在处可导，若，则（）
A．1 B． C．3 D．-1
4．离散型随机变量的概率分布规律为，其中是常数，则等于（）
A． B． C．1 D．
5．近几年，网购已逐渐成为透视消费市场和经济发展的一扇窗户。小米直播间共有8位主播（3男5女），现需安排两人分别担任“主推官”和“推荐官”，要求：主推官和推荐官必须由不同性别的主播担任，且小李（男）和小红（女）至少有一人被选中，则不同的安排方案有（）
A．18 B．24 C．14 D．30
6．定义的实数根叫函数的“躺平点”．若函数，，的“躺平点”分别为则大小为（）
A． B． C． D．
7．已知函数在上的最大值为3，则实数的范围是（）
A． B． C． D．
8．随着互联网的发展，AI的出现为人们提供了很大的便利。某企业员工小唐撰写报告选择文心一言、豆包、DeepSeek的概率均为，而使用文心一言、豆包、DeepSeek出错的概率分别为、、，结果今天他的报告有误，在此条件下，他选择文心一言写报告的概率为（）
A． B． C． D．
二、多选题:本题共3小题,每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9．已知二项式展开式的二项式系数的和为64，则（）
A． B．
C．展开式常数项为 D．展开式中各项系数和为-1
10．随机变量分布列如右表，下列说法正确的是（
）
A． B． C． D．
11．函数存在3个零点，则实数的取值可以是（）
A． B． C． D．
三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知函数，，若,则．
13．某校“星火”与“冲锋”两支排球队采用五局三胜制比赛，“星火”队获胜的概率为0.4，且每轮比赛都分出胜负，则“星火”队不超过四局获胜的概率为．
14．某市青少年机器人编程大赛进入决赛阶段，共有10支队伍参赛，其中4支队伍由女生主导（记为F组），6支队伍由男生主导（记为M组）．组委会通过随机抽签决定决赛展示顺序．设事件A为“第1个进行展示的队伍来自F组”，事件B为“第2个进行展示的队伍来自F组”．则，．
四、解答题:本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
15．(13分)
在的展开式中，求．
(1)含项的系数；
(2)求展开式中所有的有理项．
16．(15分)
某社区随机调查了100名居民的每日睡眠时长（小时），得到如图所示的频率分布直方图．
（1） 求该100名居民的每日睡眠时长的
第50百分位数（保留两位小数）；
（2）为进一步调查睡眠质量，采用分层抽样从每日睡眠时长在内居民中抽取10人，再从中任选3人进行调查，求抽到每日睡眠时长在内的调查人数的分布列和数学期望．
17．(15分)
设曲线在处的切线与轴交于点.
（1）求的值；
（2）求函数的极值．
18．(17分)
甲参加一档电视知识竞赛节目，该节目采用三轮两胜制．在每轮比赛中，甲需要回答一个知识问题，回答正确的概率为，回答错误的概率为，每轮比赛的结果是独立的，即每轮比赛甲回答正确的概率不受其他轮次结果的影响．
（1）当时，求甲最终获胜的概率；
（2）为了增加比赛的趣味性，节目组设置两种积分奖励方案．方案一：最终获胜者得5分，失败者得2分；方案二：最终获胜者得3分，失败者得0分。请讨论选择哪种方案，使得甲获得积分的数学期望更大．
19．(17分)
在计算机图形学中，若某曲线在内具有“单侧光反射”特性（即存在一条基准线，曲线在该区间内始终上升，并且与基准线在某一点处相切），则称该曲线为光洁曲线。曲线对应的函数为“光洁函数”，即函数在上单调递增，此时称为“超光洁函数”．
（1）若是“超光洁函数”，求的取值范围；
（2）已知光洁曲线的一条基准线与曲线相切，求的方程；
（3）若，，，.证明：.（可用结论：当时，）
高二数学参考答案及评分细则
一、单项选择题：本题共8小题，每