模型01侧M型
【模型分析】
模型一“猪蹄”模型（M模型）
点P在EF左侧，在AB、CD部
“猪蹄”模型
结论1：若AB∥CD，则∠P=∠AEP+∠CFP
结论2：若∠P=∠AEP+∠CFP，则AB∥CD
例1．（2020·辽宁大连市·七年级期末）如图，∠BCD＝70°，AB∥DE，则∠α与∠β满足（）
A．∠α+∠β＝110° B．∠α+∠β＝70° C．∠β﹣∠α＝70° D．∠α+∠β＝90°
【分析】过点C作CF∥AB，根据平行线性质得到∠BCF＝∠α，∠DCF＝∠β，由此可解答．
如图，过点C作CF∥AB
∵AB∥DE，∴AB∥CF∥DE，∴∠BCF＝∠α，∠DCF＝∠β
∵∠BCD＝70°，∴∠BCD=∠BCF+∠DCF＝∠α+∠β＝70°，∴∠α+∠β＝70°，选B
【小结】本题考查了平行线的性质，正确作出辅助线，熟练掌握平行线的性质进行推理证明是解决本题的关键.
例2．（2020·湖北武汉市·七年级期末）如图，，平分，，，则__________．
【分析】过E点作EM∥AB，根据平行线的性质可得∠BED=∠B+∠D，利用角平分线的定义可求得∠B+3∠D=132°，结合∠B-∠D=28°即可求解
过E点作EM∥AB
∴∠B=∠BEM
∵AB∥CD
∴EM∥CD，
∴∠MED=∠D
∴∠BED=∠B+∠D
∵EF平分∠BED
∴∠DEF=∠BED
∵∠DEF+∠D=66°
∴∠BED+∠D=66°
∴∠BED+2∠D=132°，即∠B+3∠D=132°
∵∠B-∠D=28°
∴∠B=54°，∠D=26°
∴∠BED=80°（）
【小结】本题主要考查平行线的性质，角平分线的定义，作出辅助线证出∠BED=∠B+∠D是解题的关键．
例3．（2020·洛阳市第五中学九年级期中）已知：如图1，，．
（1）判断图中平行的直线，并给予证明；
（2）如图2，，，请判断与的数量关系，并证明．
【分析】（1）求出∠AMN+∠2=180°，根据平行线的判定推出AB∥CD即可；延长EF交CD于F1，根据平行线性质和已知求出∠AEF=∠EF1L，根据平行线的判定推出即可；
（2）作QR∥AB，PL∥AB，根据平行线的性质得出∠RQM=∠QMB，RQ∥CD，推出∠MQN=∠QMB+∠QND，同理∠MRN=∠PMB+∠PND，代入求出即可．
（1）AB∥CD，EF∥HL，
证明如下：∵∠1=∠AMN，∴∠1+∠2=180°，∴∠AMN+∠2=180°，∴AB∥CD；
延长EF交CD于F1，
∵AB∥CD，∴∠AEF=∠EF1L，
∵∠AEF=∠HLN，∴∠EF1L=∠HLN，∴EF∥HL；
（2）∠P=3∠Q，
证明如下：∵由（1）得AB∥CD，作QR∥AB，PL∥AB，
∴∠RM=∠QMB，RQ∥CD，
∴∠RQN=∠QND，
∴∠MQN=∠QMB+∠QND，
∵AB∥CD，PL∥AB，
∴AB∥CD∥PL，
∴∠MPL=∠PMB，∠NPL=∠PND，
∴∠MPN=∠PMB+∠PND，
∵∠PMQ=2∠QMB，∠PNQ=2∠QND，
∴∠PMB=3∠QMB，∠PND=3∠QND，
∴∠MPN=3∠MQN，即∠P=3∠Q；
【小结】本题考查平行线的性质和判定，平行线公理的推论．能正确作出辅助线是解决本题的关键．
【巩固提升】
1．（2020·广西柳州市·七年级期末）如图所示，如果AB∥CD，则∠α、∠β、∠γ之间的关系为（）
A．∠α+∠β+∠γ＝180° B．∠α－∠β+∠γ＝180°
C．∠α+∠β－∠γ＝180° D．∠α－∠β－∠γ＝180°
【分析】过E作EF∥AB，由平行线的质可得EF∥CD，∠α+∠AEF=180°，∠FED=∠γ，由∠β=∠AEF+∠FED即可得∠α、∠β、∠γ之间的关系．
过点E作EF∥AB，
∴∠α+∠AEF=180°（两直线平行，同旁内角互补），
∵AB∥CD，
∴EF∥CD，
∴∠FED=∠EDC（两直线平行，内错角相等），
∵∠β=∠AEF+∠FED，
又∵∠γ=∠EDC，∴∠α+∠β-∠γ=180°，选C
【小结】本题主要考查了平行线的性质，正确作出辅助线是解答此题的关键．
2．（2020·河南郑州市·七年级期末）如图，直线a//b，一块含60°角的直角三角板ABC（∠A=60°）按如图所示放置．若∠1=43°，则∠2的度数为（）
A．101° B．103° C．105° D．107°
【分析】如图，首先证明∠AMO=∠2；然后运用对顶角的性质求出∠ANM=43°，借助三角形外角的性质求出∠AMO即可解决问题．
如图，∵直线a∥b，
∴∠AMO=∠2；
∵∠ANM=∠1，∠1=43°，∴∠ANM=43°，
∴∠AMO=∠A+∠ANM=60