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高三数学大题规范训练（15）

15.如图1，四边形为菱形，，，分别为，的中点，如图2．将沿向上折叠，使得平面平面，将沿向上折叠．使得平面平面，连接.

（1）求证：，，，四点共面：

（2）求平面与平面所成角的余弦值.

16.教练为了解运动员甲的罚篮情况，记录了甲罚篮前30次的投篮情况，得到下表（用“1”表示投中，用“0”表示没有投中）：

序号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

投篮情况

1

1

0

1

1

1

1

0

1

1

1

0

0

0

1

序号

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

投篮情况

1

0

1

1

0

0

1

1

1

0

0

1

1

1

0

把频率估计为概率：

（1）若认为甲各次投篮是独立的，计算甲第31，32两次投篮恰好一次投中，一次没有投中的概率；

（2）若认为甲从第2次投篮开始，每次投篮受且仅受上一次投篮的影响，记甲第31，32两次投篮投中的次数为，写出随机变量的分布列，并求.

17.已知椭圆的离心率为，过点作斜率为直线与椭圆交于，两点交于，（在轴上方），当时，.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）过点作直线垂线，垂足为，连接与轴交于点，若四边形为等腰梯形，求直线的斜率.

18.定义：若变量，且满足：，其中，称是关于的“型函数”.

（1）当时，求关于的“2型函数”在点处的切线方程；

（2）若是关于的“型函数”，

（i）求的最小值：

（ii）求证：，.

19.数列满足则称数列为下凸数列.

（1）证明：任意一个正项等比数列均为下凸数列；

（2）设，其中，分别是公比为，的两个正项等比数列，且，证明：是下凸数列且不是等比数列；

（3）若正项下凸数列前项和为，且，求证：.